Matematyka.pl

Nie potrafię odpowiedzieć:

Czy ciągłośc funkcji implikuje jej różniczkowalnosć? wyjaśnić na przykładzie

Przeanalizuj funkcję

\(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\)

tylko ze w zasadzie nie rozumiem tego pytania. implikuje? czyli że wynika?

rzucenie cegłą w szybę implikuje jej rozbicie.

czyli mam zróżniczkować funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\)

Oblicz z definicji pochodną w punkcie \(\displaystyle{ x = 0.}\) Albo nawet na logikę, skoro

dla każdego \(\displaystyle{ x > 0 \quad f '(x) = 1}\)
i dla każdego \(\displaystyle{ x < 0 \quad f '(x) = -1}\)

To pochodna w \(\displaystyle{ x = 0}\) nie może istnieć.

Funkcja określona wzorem: \(\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}\) jest ciągła. Jaki wniosek?

ciągłość implikuje różniczkowalność...?

Tylko z ,,nie".

różniczkowalność funkcji implikuje jej ciągłość, to nie działa w drugą stronę..

Poddaje sie.

To mam pytanie w takim razie :p. Skoro różniczkowalność implikuje ciągłość, to z funkcją np.
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} - x + 2\ &\mbox{dla}\ x\le 0 \\ \arccot x\ &\mbox{dla}\ x>0\end{cases}}\)
Funkcja nie jest ciągła w zerze ale jej pochodne są sobie równe. Tak więc nie wiem czy sformułowanie Różniczkowalność implikuje ciągłość jest zawsze prawdziwe?

Ta funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{ h\to 0^+} \frac{\arcctg h-2}{h}= -\infty}\)

A co z funkcją: \(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+2 &\text{dla } x \ge 0\\-x^2 &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)?
Pochodne jednostronne w punkcie zero są równe zero, czyli ma pochodną w tym punkcie, a nie jest ciągła.

Pochodna lewostronna nie jest równa zero.

A proszę ją policzyć, bo mnie wychodzi zero.