badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: mat1989 » 4 gru 2006, o 20:58

1.Zbadaj dla jakich wartości parametru p, zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-p}{(x+p)(x-1)}}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2. Zbadaj czy istnieją takie wartości parametru m, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{mx^2+(x+2)x-2}{x^2+4x+4}}\) jest równa funkcji g określonej wzorem : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x-1}{x+2}}\)

3. Zbadaj dla jakich wartości parametru a zbiorem wartości funkcji f : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x+a}{x^2+ax-1}}\) jest zbiór R.

1 i 3 zadanie się chyba tak samo rozwiązuję, więc proszę o pomoc w jednym z nich.

pawelpq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 21 paź 2006, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krosno
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 11 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: pawelpq » 4 gru 2006, o 21:52

wedlug mnie musisz skorzystać ze wzorów vieta i dobrać odpowiedni współczynnik aby funkcja kwadratowa w mianowniku nie miała miejsc zerowych czyli D=R
Niestety nie mam pomysłu na realizacje:P

Awatar użytkownika
PFloyd
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: PFloyd » 5 gru 2006, o 15:24

2)\(\displaystyle{ (3x-1)(x+2)=x^{2}(m+1)+2x-2}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: mat1989 » 5 gru 2006, o 19:13

PFloyd pisze:2)\(\displaystyle{ (3x-1)(x+2)=x^{2}(m+1)+2x-2}\)
czyli starczy przyrównać do siebie jakby te dwa równania, którymi opisane są funkcje? bo tak też zrobiłem i mi wyszło że dla m bodajże 0 i 3 i niestety było to złe rozwiązanie...

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5404
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: Rogal » 6 gru 2006, o 19:49

Rzekłbym, iż w tym drugim trzeba licznik i mianownik pierwszej funkcji podzielić przez x+2. Wtedy mianownik gra, dziedzina również, pozostaje tylko znalezienie parametru (dzięki dzieleniu, bo wiemy, że ma nam wyjść 3x - 1).

Natomiast co do jeden i trzy, to niezerowanie się mianownika nic nie daje, a co śmieszniejsze, funkcja w 3 ma zawsze dwa miejsca zerowe i pomimo tego jest Zw = R. Cosik innego tutaj musi zachodzić.

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: mat1989 » 6 gru 2006, o 19:52

a w 2 może nie trzeba wyliczać m z delty, tylko skorzystać z twierdzenia o równości wielomianów...

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5404
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: Rogal » 6 gru 2006, o 20:00

Eureka, hehe : P.

Zrobimy sposobem najprostszym : ) na przykładzie trzeciego:

\(\displaystyle{ \frac{x+a}{x^{2} + ax - 1} = k}\) k musi należeć więc do R, by warunki zadania były spełnione. Idźmy dalej:
\(\displaystyle{ x + a = kx^{2} + akx - k \\ kx^{2} + x(ak-1) - k - a = 0}\)
Przypadeczek, gdy k = 0, czyli x = -a od razu sobie załatwiamy, dalej zakładamy k 0 i liczmy deltkę:
\(\displaystyle{ \Delta = a^{2}k^{2} - 2ak + 1 + 4k^{2} + 4ak = a^{2}k^{2} + 2ak + 1 + 4k^{2} = (ak + 1)^{2} + 4k^{2} q 0}\) jako suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych. Z tego więc można wyciągnąć prosty wniosek, który bił mnie po oczach, gdy analizował wykres tego, że dla każdego k e R a równiez należy do R.

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: mat1989 » 6 gru 2006, o 20:03

czyli odpowiedź będzie że \(\displaystyle{ a\in R}\) ?

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5404
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

Post autor: Rogal » 6 gru 2006, o 20:09

Tak sadzę i tak zapisałem ; p

ODPOWIEDZ