Dość specyficzny układ równań

[wisionka24]

\(\displaystyle{ \begin{cases}2^{x}3^{y}=24\\2^{y}3^{x}=54\end{cases}}\)

[TheBill]

Rozłóż prawą stronę na czynniki.

[wisionka24]

\(\displaystyle{ 24 na 2 ^{3} i 3 ^{1}}\)
a 54?


No tak, ale co dalej.
Czy można skrócić podstawy i przyjąć po prostu, że:
\(\displaystyle{ xy=3 \cdot 1}\)

ale to bez sensu

[akw]

\(\displaystyle{ 2^y=2^x \cdot 2^{y-x}}\)
Korzystając z tego oblicz \(\displaystyle{ 2^x}\) z drugiego równania i wstaw do pierwszego. Poprzekształcaj i v'oila. Ale może da się krócej.

[TheBill]

\(\displaystyle{ \begin{cases}2^{x}3^{y}=2^3 \cdot 3^1 \\ 2^{y}3^{x}= 2^1 \cdot 3^3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}}\)

akw, możesz przedstawić swoje rozwiązanie?

[akw]

Oczywiście,

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y=24 \\ 2^x(2^{y-x}\cdot 3^x)=54 \Rightarrow 2^x= \frac{54}{2^{y-x}\cdot 3^x} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{54 \cdot 3^y}{2^{y-x}\cdot 3^x}=24 \\ \frac{9 \cdot 3^y\cdot ( \frac{1}{3})^y }{2^{y-x}\cdot ( \frac{1}{3})^{-x}\cdot ( \frac{1}{3})^y }=4 \\ \frac{9}{2^{y-x}\cdot ( \frac{1}{3})^{y-x} }=4 \\ 2^{y-x}\cdot ( \frac{1}{3})^{y-x}= \frac{9}{4} \\ ( \frac{2}{3})^{y-x}= \frac{9}{4}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ y-x=-2 \Leftrightarrow y=x-2}\)

Do pierwszego równania:

\(\displaystyle{ 2^x\cdot 3^{x-2}=24 \\ 2^x\cdot 3^x \cdot 3^{-2}=24 \\ 6^x=216 \Rightarrow x=3}\)

y już łatwo

[piasek101]

Można też podzielić równania stronami - ładnie idzie.

[akw]

Jak ktoś się nudzi to podobny układ zamieszczam również ciekawy do rozwiązania.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^y=243 \\ (\frac{2}{3}x)^{2y}=1024 \end{cases}}\)

@Edit - poprawka

[Lbubsazob]

Masz do tego jakąś odpowiedź?
(nie mam co robić o 1 w nocy )

[akw]

Ups, już mnie nie było o tej porze .
i drugie Ups wkradł się błąd...
tak patrze teraz na to drugie równanie i ....
pozostaje mi tylko przeprosić i poprawić mam nadzieję że nie popsułem zabawy

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^y=243 \\ (\frac{2}{3}x)^{2y}=1024 \end{cases}}\)

co teraz powinno już pójść łatwo

[Lbubsazob]

No właśnie wyszło mi coś niestworzonego i zastanawiałam się, czy jest coś nie tak w tym zadaniu, czy to ja źle liczę z uwagi na fajną godzinę, ale teraz wszystko jasne... Zaraz idę na zajęcia, ale jak wrócę, to nad tym posiedzę

EDYCJA

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^y=243 \\ \left( \frac{2}{3}x \right)^{2y}=1024 \end{cases} \\
\Downarrow \\
y=\log_x 243 \\
\left( \frac{2}{3}x \right)^{2\log_x 243}=1024 \\
\left( \frac{2}{3} \right)^{\log_x 243^2} \cdot x^{\log_x 243^2}=1024 \\
\left( \frac{2}{3} \right)^{\log_x 243^2}\cdot 243^2=1024 \\
\left( \frac{2}{3} \right)^{\log_x 243^2}= \frac{1024}{243^2} \\
\left( \frac{2}{3} \right)^{\log_x 243^2}= \left( \frac{2^5}{3^5} \right)^2 \\
\log_x 243^2=10 \\
x^{10}=\left(3^5\right)^2 \\
x=3 \\
y=\log_3 243=5}\)