Matematyka.pl

Mam np. taką funkcję \(\displaystyle{ y = \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1} }}\)

Mam obliczyć:
- pierwszą pochodną,
- miejsca zerowe pochodnej,
- monotoniczność funkcji,
- ekstremum funkcji,

no i narysować wykres, z wykresem jednak mam nadzieję sobie poradzę.

Mam kilka podobnych przykładów do zrobienia, więc bardziej interesuje mnie sposób rozwiązywania takiego zadania niż konkretne suche wyniki, chodzi o to żeby zrozumieć skąd co się wzięło i jak to się liczy.

Będę wdzięczny każdemu kto przyczyni się do oświecenia mnie

LINK

a najlepiej idz do biblioteki i wypozycz ksiazke: Krysicki Wllodarski "Analiza matematyczna w zadaniach" tom 1, tam jest wszystko bardzo ladnie wytlumaczone...

\(\displaystyle{ D_f=\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{\sqrt{x^2+1}-(x-2)\frac{1}{2\cdot\sqrt{x^2+1}}2x}{x^2+1}= \frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x(x-2)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}= \frac{x^2+1-x^2+2x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ D_{f'}=\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R}\;\;\,(x^2+1)\sqrt{x^2+1}>0}\)

\(\displaystyle{ y'=0\,\Leftrightarrow\,2x+1=0\,\Leftrightarrow\,x=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y'>0\,\Leftrightarrow\,2x+1>0\,\Leftrightarrow\,x>-\frac{1}{2}}\) - f. rosnąca
\(\displaystyle{ y'}\)

Pierwsza pochodna:
Tu nie ma szczegółowo co pisać, obliczanie pochodnych opiera się na wzorach.
W przykładzie podanym przez Ciebie dochodzi jeszcze pojęcie pochodnej funkcji złożonej=pochodna f. wewnętrznej x pochodna f.zewnętrznej.
I tak pochodna funckji z podanej wynosi:
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}\) (tak jak obliczyli moi poprzednicy)

Miejsca zerowe pochodnej:
Tu rzecz jest trywialna. Po prostu rozwiązujesz rownanie ( dla podanego przykładu będzie tak)
\(\displaystyle{ f'(x)=0\\
2x+1=0\\
x=-\frac{1}{2}}\)
Miejsca zerowe pochodnej są kandydatami na ekstrema funkcji. By dany punkt \(\displaystyle{ x_0}\) był ekstremum, musi być spełniony warunek:
Wykres pochodnej zmienia znak po przeciwnych strnach punktu \(\displaystyle{ x_0}\) czyli mówiąc po ludzku po jednej stronie wykres pochodnej jest np. dodatni a po drugiej musi być ujemny, tzn. np dla \(\displaystyle{ x}\) należących do pewnego otoczenia \(\displaystyle{ x_0}\) jeżeli spełniony jest warunek \(\displaystyle{ x>x_0 \Longrightarrow f'(x)>f'(x_0) \wedge x}\) to funkcja posiada minimum lokalne.
Przykład:
\(\displaystyle{ f'(x)}\) ma jedno miejsce zerowe \(\displaystyle{ x_0=-\frac{1}{2}}\) Stąd po naszkicowaniu wykresu \(\displaystyle{ f'(x)}\) stwierdzamy, że dla \(\displaystyle{ x>x_0 \Longrightarrow f'(x)>f'(x_0)=0}\) co implikuje fakt iż dla \(\displaystyle{ x>x_0}\) f(x) jest rosnąca. Dalej, \(\displaystyle{ x}\) co implikuje fakt iż dla \(\displaystyle{ x}\) f(x) jest malejąca.
Ogólnie ujmując, funkcja jest rosnącaw danym przedziale, jeżeli w tym samym przedziale f'(x) jest dodatnia i odwrotnie-malejąca gdy f'(x) jest ujemna.
Ekstrema- już wspominałem, może dodam że można prościej sprawdzić czy dany punkt jest ektremum: \(\displaystyle{ f''(x) \neq 0}\)

Wykres rysuje się w oparciu o wszystkie informacje zebrane w ciągu całej analizy funkcji... rysujesz np. tabelkę, mógłbym ją nawet narysować ale nie wiem jak się to robi w LaTeX-ie...
Jak czegoś nie wiesz jeszcze, daj znać.

niby ok tylko nie wiem jak ma wyglądać podpunkt dotyczący znaków pochodnej (wykres),
co do ekstremum, jest nim minimum lokalne dla \(\displaystyle{ x_0=-\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ y_{min}=-\sqrt{5}}\) czy tak?

no i teraz problem dotyczący drugiej pochodnej, to samo co w pierwszej czyli:
-obliczenie drugiej pochodnej
-miejsca zerowe pochodnej
-znaki pochodnej (wykres)
-określenie wypukłości funkcji
-wyznaczenie punktów przegięcia

no i na koniec jest coś takiego:

-tabela przebiegu (z całości)
-Wykres (na podstawie tabeli przebiegu)

jeśli komuś chce się robić, i mi tłumaczyć to będę bardzo wdzięczny.