Matematyka.pl

Proszę o sprawdzenie całki (później wrzucę jeszcze kilka i również proszę o sprawdzenie czy dobrze rozwiązana)

\(\displaystyle{ \int xe^{ \sqrt{x^{2}+1}} dx=}\)
podstawiamy
\(\displaystyle{ x^{2}+1=t^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2xdx = 2tdt}\)
\(\displaystyle{ xdx = tdt}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+1}=t}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int e^{t} tdt=e^{t} \cdot \frac{t^2}{2}+c=e^{\sqrt{x^{2}+1}} \cdot \frac{x^{2}+1}{2}+c}\)

Tux pisze:\(\displaystyle{ \int e^{ \sqrt{x^{2}+1}} dx=}\)

Jesteś pewien, że nie chodzi Ci o całkę:
\(\displaystyle{ \int xe^{ \sqrt{x^{2}+1}} dx=}\)
?

Q.

tak tak oczywiście, wkradł się błąd

\(\displaystyle{ \int e^{t} tdt=e^{t} \cdot \frac{t^2}{2}+c=e^{\sqrt{x^{2}+1}} \cdot \frac{x^{2}+1}{2}+c}\)

Tutaj źle - całkować należy przez części, całka z iloczynu nie równa się iloczynowi całek.

Racja, czyli będzie tak?
\(\displaystyle{ \int te^{t}dt= \\ podstawiam \\ u=t \\ du=dt \\ dv=e^{t}dt \\ v=e^{t} \\ otrzymuje \\ t \cdot e^{t}- \int e^{t}dt=t \cdot e^{t}-e^{t}+c=\sqrt{x^{2}+1}*e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{\sqrt{x^{2}+1}}+c}\)

Pamiętaj o różniczce \(\displaystyle{ {\rm d}t}\) na przyszłość. Niby nic a jednak ważna rzecz...

Ok, teraz poprawnie.

jak obiecałem druga całka

\(\displaystyle{ \int (2+e^{cos3x})sin3x dx=
\\ podstawiam
\\ 3x=t \\3dx=dt
\\ dx=\frac{dt}{3}
\\ otrzymuje
\\ \int (2+e^{cost}) sint \cdot \frac{dt}{3}
\\ \frac{1}{3} \int 2sint+e^{cost} \cdot sint \cdot dt
\\ \frac{2}{3} \int sint+e^{cost} \cdot sint \cdot dt
\\ \frac{2}{3} \int sint dt + \frac{2}{3} \int e^{cost} \cdot sint \cdot dt
\\ \frac{2}{3}cost+c +\frac{2}{3} \int e^{cost} \cdot sintdt
\\
\\ podstawiam
\\
\\ cost=u
\\ -sintdt=du
\\ sindt=-du
\\
\\otrzymuje
\\
\\ \frac{2}{3} u+c-\frac{2}{3} \int e^{u}du
\\ \frac{2}{3}u-\frac{2}{3}e^{u}
\\ \frac{2}{3}cos3x-\frac{2}{3}e^{cos3x}}\)

Tam chyba jest mala pomylka, wyciagasz 2 przed calke z pierwszego skladnika OK, ale z drugiego?

Szczerze mówiąc nie sprawdzam tych rachunków ale mało możliwe żebyś się w nich gdzieś nie pomylił.
Dużo prościej jest podstawić na początku \(\displaystyle{ cos3x=t}\), wtedy wyrażenie podcałkowe znacznie się upraszcza i staje łatwym do scałkowania.

\(\displaystyle{ \int (3x+2)^{2}e^{-3x}dx=\left|\begin{array}{ccc}u=(3x+2)^{2}&du=6(3x+2)dx\\dv=e^{-3x}dx&v=\frac{e^{-3x}}{3}\end{array}\right| =
\\ =-(3x+2)^{2}\frac{e^{-3x}}{3}+2\int(3x+2)e^{-3x}dx=
\\ =-(3x+2)^{2}\frac{e^{-3x}}{3}+2\left|\begin{array}{ccc}u=3x+2&du=3dx\\dv=e^{-3x}dx&v=\frac{e^{-3x}}{3}\end{array}\right|=
\\ =-(3x+2)^{2}\frac{e^{-3x}}{3}+2(3x+2)\frac{e^{-3x}}{3}-2\int e^{-3x}dx=\left|\begin{array}{ccc}-3x=t\\dx=-\frac{dt}{3}\end{array}\right|=
\\ =-(-t+2)^{2}\frac{e^{t}}{3}+2(-t+2)\frac{e^{t}}{3}+\frac{2}{3}e^{t}+c=-(3x+2)^{2}\frac{e^{-3x}}{3}+2(3x+2)\frac{e^{-3x}}{3}+\frac{2}{3}e^{-3x}+c}\)

-- 12 stycznia 2011, 04:21 --

\(\displaystyle{ \int e^{-2x}cos4xdx=\left|\begin{array}{ccc}u=e^{-2x}&du=-2e^{-2x}dx\\dv=cos4xdx&v=\frac{sin4x}{4}\end{array}\right|=
\\=\frac{e^{-2x}sin4x}{4}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}sin4xdx=
\\
\\
\\=\frac{e^{-2x}sin4x}{4}+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}u=e^{-2x}&du=-2e^{-2x}dx\\dv=sin4x&v=\frac{-cos4x}{4}\end{array}\right|=
\\ \\=\frac{e^{-2x}sin4x}{4}-\frac{e^{-2x}cos4x}{8}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}cos4xdx
\\ \\ \\ \\ \int e^{-2x}cos4xdx=\frac{e^{-2x}sin4x}{4}-\frac{e^{-2x}cos4x}{8}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}cos4xdx

\\
\\ \int e^{-2x}cos4xdx=\frac{e^{-2x}sin4x}{5}-\frac{e^{-2x}cos4x}{10}+c}\)


-- 12 stycznia 2011, 04:36 --

\(\displaystyle{ \int (2+e^{cos3x})sin3x dx=\left|\begin{array}{ccc}cos3x=t\\-3sin3xdc=dt\\sin3x=-\frac{dt}{3}\end{array}\right|=-\frac{1}{3}\int2dt-\frac{1}{3}e^tdt=
\\ \\ -\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}e^{t}=-\frac{2}{3}cos3x-\frac{1}{3}e^{cos3x}+c}\)