Matematyka.pl

Mam np. taką funkcję \(\displaystyle{ y = \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1} }}\)

I zbadać funkcję: tj, określić dziedziny, granice na końcach przedziałów, asymptoty, punkty przecięcia z osiami OX i OY, parzystość i nieparzystość funkcji.

Mam kilka takich przykładów do zrobienia, więc bardziej interesuje mnie sposób rozwiązywania takiego zadania niż konkretne suche wyniki, chodzi o to żeby zrozumieć skąd co się wzięło i jak to się liczy.

Będę wdzięczny każdemu kto przyczyni się do oświecenia mojego małego rozumku

Dziedzina:
Dla funkcji wymiernych \(\displaystyle{ P(x)=\frac{W{x}}{V(x)}\; D_f=\{x:V(x)\neq 0\}}\) czyli mówiąc po ludzku ze zbioru R wyrzucamy wszystkie x które zerują mianownik.
Dla przykładu \(\displaystyle{ D_f=R}\)

Punkty przecięcia z osiami:
OY: obliczasz f(0)
Dla przykładu \(\displaystyle{ f(0)=\frac{0-2}{1}=-2}\)
OX: rozwiązujesz równanie:
\(\displaystyle{ f(x)=0\\
przyklad:\\
\frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}=0\\
x-2=0\\
x=2}\)

Parzystość/nieparzystość funkcji:
Parzystość: Funkcja jest parzysta jeżeli spełnia warunek:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in D_f}:f(-x)=f(x)}\)
Funkcja jest nieparzysta jeżeli:
\(\displaystyle{ \foall_{x\in D_f}:f(-x)=-f(x)}\)
Przykłąd:
\(\displaystyle{ f(-x)=\frac{-x-2}{\sqrt{x^2+1}} f(x) -f(x)}\)

Granice:
Badanie asymptot poziomych:
obliczamy granice w \(\displaystyle{ +\infty\; i\; -\infty}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x(1-\frac{2}{x})}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1}\)
Wykres ma więc asymptotę poziomą \(\displaystyle{ x=1}\)
Asymptoty pionowe:
Funkcja ma asymptotę poziomą, jeżeli:
\(\displaystyle{ \forall_{x_0\notin D_f} :\lim\limits_{x\to x_0^+ }f(x)=\pm\infty \lim\limits_{x\to x_0^- }f(x)=\pm\infty}\)
czyli gdy istnieje przynajmniej jedna granica prawo/lewostronna dla każdego punktu nienależącego do \(\displaystyle{ D_f}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ D_f=R}\) więc f(x) nie ma asymptot pionowych
Asymptota ukośna:
funkcja posiada asymptotę ukośną \(\displaystyle{ y=ax+b}\), gdy:
\(\displaystyle{ a=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} 0}\) (jeśli a=0 to asymptota ukośna przybiera postać asymptoty pionowej)
\(\displaystyle{ b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax)}\)
Dla przykładu asymptota ukośna nie istnieje, bo:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x-2}{x\sqrt{x^2+1}}
=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1-\frac{x}{2}}{\sqrt{x^2+1}}=0\\}\)

To wszystko jak mniemam

Ja tak nieśmiało dodam, że to nie jest funkcja wymierna (ale wszystko poza tym ok).

skoro nie jest to funkcja wymiera to co jest dziedziną ? zbiór liczb rzeczywistych?

jeszce co do parzystosci i nei parystosci, moge napisać ze:
funkcja nie jest parzysta oraz nie jest nieparzysta ?

Funkja nie jest wymierna, czyli nie jest ilorazem 2 wielomianów, ale dziedzinę liczy się tak samo.

Naprawdę wielkie dzięki, lubię odpowiedzi poparte definicjami to bardzo rozjaśnia całość. Teraz spróbuje zmierzyć się z analizą pierwszej i drugiej pochodnej jakby co mam nadzieje że pomożecie

Mi się jedynie nie podoba definicja asymptoty pionowej, konkretnie symbol \(\displaystyle{ \forall}\).