Matematyka.pl

Byłem na tym konkursie wczoraj i zadania mnie zaszokowały :d Jabyscie je rozwiazali

Jest to poziom rozrzeszony :d

Zadanie 1.
Udowodnij, że jeśli a, b, c są długościami boków trójkąta to zachodzi nierówność:
2(ab + bc + ca)>a� + b� + c� .

Zadanie 2.
Funkcja spełnia warunki: ƒ(4)=1 dla dowolnych liczb x, y: ƒ(x + y)= ƒ(x) + ƒ(y). Oblicz ƒ(�).

Zadanie 3.
Znajdź na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne spełniają równanie:
|x| + |y| = |x + y|.

Zadanie 4.
Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ |x - 2| = m� - m}\) ma dwa pierwiastki dodatnie ?

Zadanie 5.
Na okręgu opisano trapez prostokątny. Odległość środka okręgu od końców ramienia nieprostopadłego do podstaw wynoszą: 3cm i 4cm. Oblicz pole trapezu.

Zadanie 6.
Rozwiąż równanie: [x] +[1 - x]= 1. (Symbol [a] oznacza największą liczbe całkowitą, która nie jest większa od a)

Zadanie 7.
Znajdź wszystkie liczby całkowite a, b, c takie, że trójmian ax� + bx + c = 0 ma dwa pierwiaski \(\displaystyle{ x_{1}}\)= a, \(\displaystyle{ x_{2}}\)= b.

Zadanie 8.
Oblicz bez użycia kalkulatora tg(22°30').

Zadanie 9.
Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których \(\displaystyle{ n^{4} + 4}\) jest liczbą pierwszą.

Zadanie 10.
Według Nostradamusa wyjątkowe są te lata, które zapisane w systemie dziesiątkowym mają postać abcd i ab + cd = bc, gdzie przez ab, cd i bc oznaczamy liczby dwu cyfrowe zapisane w systemie dziesiątkowym. Oblicz jaki był ostani rok wyjątkowy, jaki bedzie następny rok wyjątkowy oraz ile było lat wyjątkowych w poprzednim tysiącleciu. Odpowiedź uzasadnij.

zad.2.
\(\displaystyle{ f(x+x)=f(x)+f(x)\\
f(2x)=2f(x)\\
f(nx)=nf(x)\\
f(4)=f(16\cdot \frac{1}{4})=16f(\frac{1}{4})=1\\
f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}}\)

zad.3.
rozpisz na przypadki.

zad.4.
\(\displaystyle{ |x-2|=m^{2}-m\\
x-2=m^{2}-m\; \vee \; x-2=-m^{2}+m\\
x=m^{2}-m+2\; \vee \; x=-m^{2}+m+2\\
m^{2}-m+2>0\;\wedge\; -m^{2}+m+2>0}\)

zad.8.
wzór na \(\displaystyle{ tg{(\frac{1}{2}\alpha)}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha=45^{\circ}}\)

zad.9.
\(\displaystyle{ n^{4}+4=k\\
n^{4}+4n^{2}+4-4n^{2}=k\\
(n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2}=k\\
(n^{2}+2n+2)(n^{2}-2n+2)=k\\
n^{2}+2n+2=1\;\vee\; n^{2}-2n+2=1\\
n^{2}+2n+1=0\;\vee\; n^{2}-2n+1=0\\
(n+1)^{2}=0\;\vee\; (n-1)^{2}=0\\
n=-1\notin N\;\vee \; n=1\in N}\)
tak więc dla n=1 k jest liczbą pierwszą równą 5.

Ciekawe czemu dla pierwszych i drugich zadanie z Nostradamusem się powtórzyło : ).
Jeśli chodzi o pierwsze, to polecam zapisać twierdzenie cosinusów dla wszystkich trzech boków trójkąta, sumy kwadratów pozostawić na jednej stronie, podwojone iloczyny na drugą i zastanowić się, że po opuszczeniu cosinusów (jako ułamków) wartość sumy podwojonych iloczynów musi wzrosnąć. Problem może być jedynie z trójkątem rozwartokątnym, ale jest do obejścia : )

Rogal ==> moja matematyczka zawsze powtarzała, że nadmiar wiedzy szkodzi W pierwszym trzy nierówności trójkąta - każda przemnożona obustronnie przez coś - i zsumować stronami

Albo tradycyjnie wstawić \(\displaystyle{ a=x+y \ ,b=x+z \ ,c=z+y}\) wymnożyć, nie myśleć tylko napisać, że to Muirhead

Siódme jest fajne : )
Jeżeli ma dwa pierwiastki a i b, no to wstawiamy je sobie do równania:
\(\displaystyle{ a^{3} + ab + c = 0 \\ ab^{2} + b^{2} + c = 0}\)
Odejmijmy stronami i patrzmy co otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^{3} + ab - ab^{2} - b^{2} = 0 \\ a^{3} - ab^{2} + ab - b^{2} = 0 \\ a(a^{2}-b^{2}) + b(a-b) = 0 \\ a(a-b)(a+b) + b(a-b) = 0 \\ (a-b)(a^{2} + ab + b) = 0 \\ a = b \vee a^{2} + ab + b = 0}\)

Z pierwszego warunku mamy c = -a^3 - a^2.
Natomiast drugi jest śmieszniejszy, zapiszmy sobie to tak:
\(\displaystyle{ (a+b)(a+1) = a}\)
Dla a = -1 będzie 0 = -1, czyli sprzeczność. Więc a -1 i dzielimy stronami przez a+1:
\(\displaystyle{ a+b = \frac{a}{a+1} \\ a+b = \frac{a+1-1}{a+1} \\ a+b = 1 + \frac{-1}{a+1}}\)
Lewa strona jest jak najbardziej całkowita, prawa również musi być, więc a+1 musi być dzielnikiem -1. Z tego więc a+1 = 1 lub a+1 = -1, czyli a = 0 (przypadek wątpliwy do sprawdzenia na początku z racji 'znikania' równania kwadratowego) lub a = -2, wtedy b = 2 + 1 + 1 = 4 i c = 8 + 8 = 16.

Jakoś tak, ale ręki głowy ani niczego cennego uciąć nie daje : P

[ Dodano: 4 Grudzień 2006, 20:28 ]
Aha, już wiem - wzory Viete'a : D.
\(\displaystyle{ a + b = -\frac{b}{a} \wedge ab = \frac{c}{a} \\ a^{2} + ab = -b \wedge a^{2}b = c \\ a^{2} + ab + b = 0 \wedge c = a^{2}b}\)
Oho i dalej to co już było. Więc jak jest dobrze, to jest, a jak źle to nie mam aktualnie innego pomysłu ; )

[ Dodano: 4 Grudzień 2006, 20:32 ]
Chyba wiem : P
\(\displaystyle{ a^{2} + ab + b = 0 \\ a^{2}-1 + b(a+1)=-1 \\ (a-1)(a+1) + b(a+1) = -1 \\ (a+1)(a+b-1) = -1}\)

No i teraz już klasycznie mamy tutaj tylko dwie możliwości, rozwiązujemy sobie, potem obliczamy dzięki temu c i po sprawie : ).
Lubię takie zadanka (jak wychodzą ; p)

w sobote odbył sie finał tych zawodów mam pytanie, moze ktos wie jakie sa nagrody ?

Na stronie ... 11&id=1501 są preferencje przyznawane przez wyższe uczelnie laureatom i finalistom.

hm ciekawe dlaczego w mojej szkole nic takiego nie było widze że to dla ponadgimnazjalnych a moje liceum chyba do takich szkół należy
:mad:

Skąd: Rawa Mazowiecka

To małopolski konkurs...

aha
swoją drogą to mogłem nie wiedzieć przecież jest w dziale Konkursy Ogólnopolskie


_________
Raczej 'był'
jasny

Zadania na etapie wojewódzkim były takie proste (pierwsze 4)... dosłownie poziom matury rozszerzonej a nie finału konkursu kuratorialnego.

W pierwszych trzech jak się okazało mam błędy rachunkowe (grr...) a zadanie 4 zorientowałem się jak zrobić (inaczej niż proponuje klucz) na 5 minut przed upływem czasu... Rezultat - błąd rachunkowy

Jednym słowem taka oczywista szansa zaprzepaszczona... do tej pory jestem wkurzony

pierwsze zadanko jest bardzo proste:
2(ab + bc + ca)>a� + b� + c�

wiadomo że, jest to trójkąt więc ...
zapisujemy to w postaci układu nierówności

a + b > c
c + b > a
a + c > b

po czym

a+b > c / * c
c+b > a / * a
a+c > b / * b

daje nam

c(a+b) > c�
a(c+b) > a�
b(a+c) > b�
+
---------------- // sumujemy strony po czym otrzymujemy
c(a+b) + a(c+b) + b(a+c) > a� + b� + c�
ac + bc + ac + ab + ab + bc > a� + b� + c�
2(ab + bc + ac) > a� + b� + c�

no i zrobiliśmy dowodzik na 1 zadanko

[ Dodano: 4 Października 2007, 17:27 ]
zadanko 8.
tg(22°30')
można zauważyć że ...
tg45° = 1
tg2(22°30') = 1
tu trzeba troche wzorków wrzucić

sin2α = 2sinα*cosα

cos2α = cos�α - sin�α

no to zaczynamy zabawe )

tg2α = sin2α / cos2α

czyli

tg2α = 2sinα*cosα / cos�α - sin�α

tg2α = 2sinα*cosα / cos�α / cos�α - sin�α / cos�α

tg2α = 2sinα/cosα / 1 - sin�α / cos�α

tg2α = 2tgα / 1 - tg�α

tgα = x

tg2α = 1

1 = 2x / 1 - x� // mnożymy przez 1 - x�

1 - x� = 2x
-x� - 2x +1 = 0 / * (-1)
x� + 2x - 1 = 0

widzimy że jest to równanie kwadratowe
a więc ...
a = 1 , b = 2 , c = -1

podstawiamy do wzoru Δ = b� - 4ac
Δ = 2� - 4*1*(-1)
Δ =4 + 4
Δ = 8

Δ > 0 , ma dwa pierwiastki

x = -b - √Δ / 2a v x = -b + √Δ / 2a

x = -2 - 2√2 / 2 v x = -2 + 2√2 / 2

x = -1 - √2 v x = √2 - 1

α = 22°30'

należy do I ćwiartki układu więc...

tg22°30' = √2 - 1

:D :D :D :]

[ Dodano: 4 Października 2007, 18:36 ]
zad. 5

po narysowaniu trapezu prostokątnego opisanego na okręgu
można zauważyć że, trójkąt powstały z połączenia środka okręgu z ramionami nieprostpadłymi
tworzy trójkąt prostokątny :D ale oczywiście trzeba to udowodnić ;))

no więc...
trapez
90° + 90° + α + β = 360°

a wiec skoro odcinki łączące środek z ramionami nieprostopadłymi są dwu siecznymi tych kątów...

(α+β) = 360° - 180°
�(α+β) =90°

a wiec skoro nasz trójkącik jest zbudowany z połowy tych kątów ...
wiemy również że, trójkąt ma w sumie 180° więc ...
90° + �(α+β) = 180°

teraz wiemy że, jest to trójkąt prostokątny a więc możemy wykorzystać pitagorasa do obliczenia przeciwprostokątnej

3�+4�=c�
9+16=c�
c = √25
c = 5 ;)

znamy boki trójkąta a więc braknie nam h które w tym wypadku jest on równy r
wyliczmy sobie r:

�ab = �cr
�*3*4=�5r
12 = 5r / :12
h_trójkąta = r = 2.4

h_trapezu = 2*r
h_trapezu = 2*2.4
h_trapezu = 4.8

Sumujemy podstawy

2r + 5 = 9.8

wzór na pole trapezu jest:

�h(a+b)
�4.8 * 9.8 = 2.4 * 9.8 = 23.52



zad. 6
[x] + [1-x] = 1

[x] ≤ x
[1-x] ≤ 1-x

[x] + [1-x] ≤ 1 -x + x
[x] + [1-x] ≤ 1

[x] = x dla x e K+ ( x należy do Całkowitych dodatnich)
[1-x] = 1 - x dla x e K+

[x] ≤ x dla x e K- (x należy do Całkowitych ujemnych)
[1-x] ≤ 1 - x dla x e K-

dla K+
x + 1 - x = 1
1 = 1
jest prawdą

dla K-
-x + 1 -(-x) = 1
1 = 1
jest prawdą

spr. dlaczego nie dla R+
[�] + [1 - �] = 1
0 + 0 = 1
0 = 1
nie jest prawdą równanie sprzeczne
spr. dlaczego nie dla R-
[-�] + [1 + �] = 1
-1 + 1 = 1
0 = 1
nie jest prawdą, równanie sprzeczne

ja bym to tak rozwiązał nie wiem jak inni , czy punkty bym dostał nie wiem ...
ale jest to chociaż jakaś myśl