granica funkcji (o ile istnieje)

[xxxNFxxx]

Mam mały problem bo nie mam żadnej idei na te dwa podpunkty:

\(\displaystyle{ a) \lim_{ x\to \infty } \left( \frac{x}{x+1} \right) ^{x}}\)

\(\displaystyle{ b) \lim_{ x\to 0} tg2x ctg7x}\)

może ktoś choćby wskazówką się podzielić

[Inkwizytor]

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \frac{x+1-1}{x+1} \right) ^{x}}\)

b) korzystasz z \(\displaystyle{ lim_{ x\to 0} \frac{tg(ax)}{ax}=1}\) oraz ze wzoru iż \(\displaystyle{ ctg(cx)= \frac{1}{tg(cx)}}\)

[Adifek]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }( \frac{x}{x+1} )^{x}= \lim_{ x\to \infty } ( \frac{x+1}{x} )^{-x}= \lim_{ x\to \infty }((1+ \frac{1}{x} )^{x})^{-1}=e^{-1}= \frac{1}{e}}\)

-- 30 grudnia 2010, 20:08 --

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} tg2x ctg7x =\lim_{ x\to 0} \frac{sin2xcos7x}{cos2xsin7x}=\lim_{ x\to 0} \frac{sin2x}{2x} \frac{7x}{sin7x} \frac{2xcos7x}{7xcos2x} = \frac{2}{7}}\)

[xxxNFxxx]

co do pierwszego to już rozumiem

ale co do drugiego to nie wiem myślałem myślałem i nie wiem :/

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{sin2x}{2x} \frac{7x}{cos7x} \frac{2xcos7x}{7xcos2x} = \frac{2}{7}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{sin2x}{2x} = 1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{7x}{cos7x} = 1 ?}\)

to jest z wzoru jakiegoś bo szukałem i nie znalazłem i nie wiem skąd to

i nie wiem co z ostatnim ułamkiem tam tylko podstawiamy "0" tak?

[Adifek]

tam jest sin7x, nie cos7x

\(\displaystyle{ lim_{x \rightarrow 0}cosax=1}\)

Stad mamy

\(\displaystyle{ lim_{x \rightarrow 0} \frac{2xcos7x}{7xcos2x}=lim_{x \rightarrow 0} \frac{2cos7x}{7cos2x}= \frac{2}{7}}\)

[xxxNFxxx]

aaaa no to już teraz rozumiem czyli?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ax}{sin(ax)}}\) jest równe temu \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sin(ax)}{ax} ?}\)

[Adifek]

Tak obojętnie jak odwrócimy jedynkę, nadal będzie jedynką

Tylko taka uwaga:
\(\displaystyle{ lim_{x \rightarrow 0} \frac{asinax}{ax} =2}\)

ale

\(\displaystyle{ lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax}{2sinax} = \frac{1}{2}}\)

[xxxNFxxx]

no tak tak to już wiem

tak przypuszczałem

te a u góry to 2 domyślam się:)

dzięki w każdym razie