Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 1. \lim_{ x\to0 } \frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} }{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{1}{2 \sqrt{1+x} } - \frac{1}{2 \sqrt{1-x} } = \frac12 - \frac12}\)
coś gdzieś jest nie tak ze znakiem - powinno wyjść 1

\(\displaystyle{ 2. \lim_{ x\to \infty } \frac{x-\cos x}{x} = \lim_{ x\to \infty } 1+\sin x}\)
nie wiem co dalej zrobić z sinusem

\(\displaystyle{ 3. \lim_{ x\to0 } \frac{\ln x}{\ctg x} = \lim_{ x\to0 } \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{-1}{\sin^{2}x } } = \lim_{ x\to0 } \frac{ -\sin^{2}x }{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-2\sin x\cos x}{1} =0}\)
tu nie jestem pewien, czy zrobiłem to w dobry sposób

W 2) nie mozna stosować reguły de L'Hospitala.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{x-\cos x}{x} = \lim_{ x\to \infty }\left(1 - \frac{\cos x}{x}\right) = 1 - 0 = 1}\)

3. Jest ok

1. pochodnej wnetrza brakuje

dlaczego nie można użyć de L'Hospitala i dlaczego \(\displaystyle{ \frac{cosx}{x}=0}\) ? cosx przy x zmierzającym do nieskończoności oscyluje między -1, a 1

2. Bo nie masz spełnionych założeń tej reguły

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{x}=0}\)
Np. z trzech funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le \frac{1}{x}}\)
Przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) wyrażenia po obu stronach zbiegają do zera. Zatem środkowe również.

ok, wszystko już jasne, dziękuję wam bardzo