Matematyka.pl

Wita wszystkich forumowiczów, nie jestem pewien co do poprawności wykonanych czynności i mam mały problem z dokończeniem badania przebiegu zmienności tej funkcji : \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }}\)
1. \(\displaystyle{ Df = R / \left\{ -2\right\}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }=- \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }=+ \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{-} } \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }= ?}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{+} } \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }= ?}\)
Wyznaczenie asymptot :
\(\displaystyle{ m=1}\) ?
\(\displaystyle{ n=-2}\) ?
\(\displaystyle{ y=x-2}\) ?
Sprawiają mi problem zagadnienia związane z pierwszą i drugą pochodną.
\(\displaystyle{ f'(x)=\left[ \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} } \right]'}\) ?
Jak by ktoś mógł rozpisać po kolei jak wykonywać obliczenia z pochodnymi był bym niezmiernie wdzięczny.

1. granice dobrze, w dwoch osattnich sprawdz do czego dazy mianownik
co do asymptot to liczysz lewo czy prawostronna? ale wynik i tak zly, pokaz obliczenia
co do pochodnych to skorzystaj ze wzoru na pochodna ilorazu funkcji, znasz?

Dwie ostatnie granice \(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{-} } \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }=+ \infty}\) ?
obliczyłem jeszcze raz wyznaczenie asymptot i wyszło mi tak :
\(\displaystyle{ m= \lim_{x \to \pm \infty } \frac{ \frac{ x^{3} }{(2-x) ^{2} } }{x} =-1}\)
\(\displaystyle{ n= \lim_{x \to \pm \infty }\left[ f(x)-mx \right]= \frac{x ^{3} }{(2-x) ^{2} }-x = 4}\)
\(\displaystyle{ y=-x+4}\)
zagadnienie związane z pierwszą pochodną :
\(\displaystyle{ f'(x)=\left[ \frac{ x^{3} }{(2-x) ^{2} } \right]'= \frac{(x ^{3})' \cdot (2-x) ^{2}- x ^{3} \cdot \left( (2-x) ^{2} \right)' }{\left( (2-x) ^{2} \right) ^{2} }=}\)
Moja algebra troszkę leży...

granice jedna jest \(\displaystyle{ +\infty}\) a druga \(\displaystyle{ -\infty}\)
jezeli chodzi o asymptoty to masz zle pierwsza granice, oblicz dobrze \(\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{(2-x)^2}}\)
pochodna dobrze, to teraz oblicz pochodna \(\displaystyle{ x^3}\) korzystajac z zaleznosci \(\displaystyle{ \left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}}\) oraz pochodna \(\displaystyle{ (2-x)^2}\) korzystajac z tej samej zaleznosci, tylko pamietaj o pochodnej funkcji wewnetrznej, gdybys mial z czyms problemy mow

Obliczyłem pierwszą granice \(\displaystyle{ m=1}\)
\(\displaystyle{ y=x+4}\)
pochodna \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x ^{2} \cdot (2-x) ^{2}-x ^{3} \cdot \left[ (2-x) ^{2} \right]' }{(2-x) ^{4} }}\)
Mam problem obliczyć tą drugą pochodną gdyż jest ona do potęgi. Jakieś podpowiedzi wskazówki?

asymptota juz dobrze, masz problem z pochodna \(\displaystyle{ (2-x)^2}\)? zauwaz ze \(\displaystyle{ (2-x)^2=(x-2)^2}\) a takie wyrazenie jest wyrazeniem potegowym, jesli nie wiesz jaka jest pochodna mozesz obliczyc z definicji albo skorzystac ze wzoru \(\displaystyle{ \left(t^n\right)^\prime=nt^{n-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ t=x-2}\)

obliczałem pochodną i wychodzi mi tak \(\displaystyle{ \frac{3x ^{2}-x ^{3}\left( 2x-4\right)}{(x-2) ^{2} }}\)? jak to bardziej uprościć ?
Pytanie czy ta funkcja będzie mieć ekstrema , ekstrema lokalne ? Zależy mi na takim zadaniu aby te wszystkie zależności występowały. Ewentualnie jakiś inny w miare podobny przykład.

pochodna zle, ulamek zle skrociles, policz dobrze, ekstrema beda tylko tam gdzie \(\displaystyle{ f^\prime(x)=0}\) jesli pochodna zmienia tam znak

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{3x ^{4}-12x ^{3} +12x ^{2}-2x ^{4} +4x ^{3} }{(x-2) ^{4} } = \frac{x ^{2} (x-2)(x-6)}{(x-2) ^{4} }}\)
Z tego wynika że funkcja ma ekstrema w punktach 0,2,6?
Monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,-6\right) \cup (-2,+ \infty )}\) ?

zastanow sie jeszcze czy punkt \(\displaystyle{ x=2}\) nalezy do dziedziny, poza tym w punktach \(\displaystyle{ x=0,\ x=6}\) zbadaj czy pochodna zmienia znak, jesli tak to jest ekstremum, natomiast przedzial monotonicznosci zle, pokaz dokladniejsze obliczenia

\(\displaystyle{ Df=R \setminus \left\{ -2,2\right\}}\)
czyli punkt 2 z założenia odpada nie należy do dziedziny.
Montoniczność funkcji liczyłem tak
\(\displaystyle{ f'(x)>0 \frac{x ^{2}(x-2)(x-6) }{(x-2) ^{4} }>0 \Leftrightarrow (x-2)(x-6)>0}\)
Narysowałem oś zaznaczyłem punkty (pomyliłem się ze znakami ) narysowałem funkcje dodatnią (kwadratowa)i wychodzi monotoniczność \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,2) \cup (6,+ \infty}\) ?
Nie wiem w jaki sposób obliczyć czy w tych punktach pochodna zmienia znak, ale chyba z tego wykresu co narysowałem do wyznaczenia monotoniczności wynika że w punkcie 6 funkcja zmienia znak?

a czemu mowisz ze \(\displaystyle{ x=-2}\) nie nalezy do dziedziny? wniosek co do ekstremum dobry, pochodna zmienia tam znak

co do tego -2 ż¶e nie należy do dziedziny to od początku miałem źle i tak zostało czyli prawidłowo
\(\displaystyle{ df=R/\left\{2 \right\}}\)
Pozostaje mi obliczyć pochodną z pochodnej ...
Jakieś podpowiedzi jak podejść do takiej pochodnej gdzie sa potęgi do 4 ?

teraz dobrze dziedzina natomiast co do pochodnej to nie wymnazaj tych nawiasow ktore sa wielomianami podniesionymi do drugiej lub wyzszej potegi bo inaczej otrzymasz wielomian o trudnych do okreslenia pierwiastkach, w tym przypadku dobrze bedzie tak zrobic \(\displaystyle{ \ldots=\frac{x^4-8x^3+12x^2}{(x-2)^4}}\) i teraz oblicz pochodna korzystajac ze znanego wzoru (zauwaz ze wymnozylem czynnik \(\displaystyle{ x^2}\) ktory i tak bedzie prosty do wylaczenia przed nawias po obliczeniu pochodnej)

zastosowałem wzór \(\displaystyle{ \left[ \frac{f1}{f2}\right]'= \frac{f1' \cdot f2-f1 \cdot f2'}{(f2) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left[f'(x) \right]' =\left[ \frac{x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2} }{(x-2) ^{4} } \right]'=
\frac{(x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2})' \cdot (x-2) ^{4}-(x ^{4}-8x ^{3} +12x ^{2}) \cdot ((x-2) ^{4})' }{(x-2) ^{4}) ^{2}} = \frac{(4x ^{3}-24x ^{2}+24x) \cdot (x-2) ^{4}-(x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2}) \cdot (4(x-2) ^{3}) }{(x-2) ^{8}}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{(4x ^{3}-24x ^{2}+24x) \cdot (x-2)-(x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2}) \cdot 4(x ^{3}-6x ^{2}+24x-8) }{(x-2) ^{4} }=}\) ?