Matematyka.pl

W wielu książkach i na wikipedi można przeczytać, że dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonuje się tak samo jak w przypadku liczb rzeczywistych. Rozważmy \(\displaystyle{ \i^{2}:}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-1} ^{2}=-1}\)

a przecierz: \(\displaystyle{ \sqrt{-1} ^{2}= \sqrt{-1(-1)}= \sqrt{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow -1=1}\)

Gdzie kryje się błąd?

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie tak, ale pierwiastkowanie nie. Zauważ, że mamy 2 pierwiastki z -1- są to i oraz -i. Stąd z jednej strony:
\(\displaystyle{ ("\sqrt{-1}")^2=i^2=-1}\)
zaś z drugiej:
\(\displaystyle{ "\sqrt{-1}"\cdot "\sqrt{-1}"=-i \cdot i=-(-1)}\)
(pierwiastek jest w cudzysłowie, bo nie jest jednoznacznie zdefiniowany i oznacza zazwyczaj 2 różne liczby, np. może być \(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{-1}=-i}\))

Pierwiastkowanie da się oczywiście ładnie zdefiniować w trochę inny sposób, ale to już inna sprawa.

A ja jeszcze zapytam: dlaczego miałoby być prawdą, że \(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\)?