Matematyka.pl

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ \alpha\in R}\) rozwiązaniem układu równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}xsin\alpha-ycos\alpha=1\\xcos\alpha+ysin\alpha=0\end{array}}\)
jest punkt(x,y) należący do krzywej \(\displaystyle{ x^{2}+y-1=0}\) ?

\(\displaystyle{ xsin\alpha -ycos\alpha=1 \ \ \ ^{(2)}\\x^2sin^2\alpha+y^2cos^2\alpha-2xycos\alpha sin\alpha=1}\)
Podniesimy druga rownosc do kwadratu i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^2cos\alpha+y^2sin^\alpha+2xycos\alpha sin\alpha=0}\)
Gdy dodamy rownosci otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1\\x^2=1-y^2}\) (*)
Znajdzmy punkty, w ktorych nasz okrag (*) przecina z nasza krzywa \(\displaystyle{ x^2+y-1=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 1-y^2+y-1=0\\-y^2+y=0\\y=0 y=1}\)
Dla \(\displaystyle{ y=0,x=1 x=-1 \\y=1,x=0}\)
Zatem nasza krzywa masz 3 punkty wspolne z okregiem:
\(\displaystyle{ (1,0),(-1,0),(0,1)}\)
Wiec:
\(\displaystyle{ \alpha\in\{0,\frac{pi}{2},\pi}\}}\)

Albo obliczasz x i y z wyznaczników i wstawiasz do równania krzywej.