Matematyka.pl

Cześć,
mam pewne problemy ze zrozumieniem dowodu twierdzenia Hahna-Banacha (żeby nie naruszać spójności treści przytaczam cały dowód, oprócz punktu 3, do którego nie mam pytań. Cytaty pochodzą z książki "Metody przestrzeni Hilberta", Maurin):

TWIERDZENIE HAHNA-BANACHA. Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczonym funkcjonałem liniowym funkcjonałem określonym na liniowej podprzestrzeni \(\displaystyle{ M}\) przestrzeni Banacha \(\displaystyle{ X}\), to funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) można rozszerzyć na całą przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) nie powiększając normy.

Dowód składa się z trzech kroków:
1. Funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) można rozszerzyć w rzeczywistej unormowanej przestrzeni na podprzestrzeń \(\displaystyle{ M+[x _{0}]}\) , gdzie \(\displaystyle{ [x _{0}]}\) jest dowolnym elementem
przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
2. Zachodzi teza punktu 1. dla zespolonej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\);
3. Posługując się lematem Zorna otrzymuje się tezę twierdzenia.

Ad 1. Zagadnienie sprowadza się do odpowiedniego określenia wartości \(\displaystyle{ c=f(x _{0})}\) , bo wtedy wzór \(\displaystyle{ f(x+ax _{0}):=f(x)+ac}\) określi funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) na całej podprzestrzeni \(\displaystyle{ M+[x _{0}}\)]. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ ||f||=1}\). W takim razie liczba \(\displaystyle{ c \in E^{1}}\) powinna być tak dobrana, by dla każdego \(\displaystyle{ a \in E^{1}}\) zachodziła nierówność \(\displaystyle{ |f(x)+ac|<=||x+ax_{0}||}\).
____________________________________________________________________________
Dlaczego możemy zawęzić nasze rozważania do sytuacji, gdy \(\displaystyle{ ||f||=1}\) ? Ponadto nie rozumiem, jak z tego wynika, że liczba c musi być dobrana w wyżej określony sposób.
____________________________________________________________________________

Dzieląc tę nierówność przez \(\displaystyle{ a}\) możemy ją zapisać w następującej postaci:
dla dowolnych \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in M}\). Ale
____________________________________________________________________________
Nie rozumiem jak dostaliśmy powyższą nierówność. W ogóle skąd się wzięło \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)?
____________________________________________________________________________
a więc
____________________________________________________________________________
Nie rozumiem, jak z poprzedniej nierówności wynika powyższa. Poniższego wniosku również nie rozumiem. Ponadto, skąd wiemy, że tak określony funkcjonał nie powiększa normy?
____________________________________________________________________________

Widać stąd, że za \(\displaystyle{ c}\) można wziąć dowolną liczbę zawartą w powyższym przedziale.

Ad.2. Przeniesienie punktu 1. na przypadek zespolonej przestrzeni Banacha zawdzięczamy Bohnenblustowi i Sobczykowi oraz Suchomlinowowi. Zauważmy z początku, że zespolona unormowana przestrzeń jest jednocześnie rzeczywistą - jeśli ograniczyć się do mnożenia przez liczby rzeczywiste - oraz że część rzeczywista g i urojona h zespolonego liniowego funkcjonału f są liniowym funkcjonałami w tej rzeczywistej przestrzeni.
____________________________________________________________________________
Nie wiem do końca, jak interpretować zdanie, że "każda unormowana przestrzeń zespolona jest jednocześnie przestrzenią rzeczywistą". Chodzi o to, że jeżeli dana jest przestrzeń unormowana nad ciałem liczb zespolonych, to jest ona jednocześnie przestrzenią unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych? OK, ale gdzie to jest wykorzystane w tym dowodzie?
_____________________________________________________________________________

Ponieważ
,

więc \(\displaystyle{ h(x)=-ig(ix)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=g(x)-ig(ix)}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ ||f||=1}\) na \(\displaystyle{ M}\), więc \(\displaystyle{ ||g|| \le 1}\),
____________________________________________________________________________
jak to że \(\displaystyle{ ||f||=1}\) na \(\displaystyle{ M}\) implikuje, że \(\displaystyle{ ||g|| \le 1}\)?
____________________________________________________________________________

a zatem na podstawie punktu 1. funkcjonał g można przedłużyć na rzeczywistą przestrzeń liniową \(\displaystyle{ M+[x_{0}]}\), zachowując tę nierówność. Dołączając podobnie element \(\displaystyle{ ix_{0}}\) otrzymujemy zespoloną przestrzeń rozpiętą na zbiorze \(\displaystyle{ M \cup (x_{0})}\) oraz określony na niej liniowy funkcjonał \(\displaystyle{ g}\), przy czym \(\displaystyle{ ||g|| \le 1}\). Połóżmy teraz na tej przestrzeni \(\displaystyle{ f(x):=g(x)-ig(ix)}\). Jak widzieliśmy, dla \(\displaystyle{ x \in M}\) równość ta ma miejsce.
Na zbiorze \(\displaystyle{ M+[x_{0}]}\) określony powyżej funkcjonał f jest liniowy ze względu na mnożenie przez liczby rzeczywiste. Należy więc jedynie sprawdzić liniowość f względem mnożenia przez liczby zespolone; rzeczywiście
.
____________________________________________________________________________
Aby sprawdzić czy \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe względem mnożenia przez liczby rzeczywiste powinniśmy chyba sprawdzić, czy dla każdych \(\displaystyle{ a, b \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ f((a+ib)x=af+ibf(x)}\)? Ponadto, jak możemy wyrzucać i przed funkcję, jeżeli jeszcze nie mamy liniowości \(\displaystyle{ f}\) względem mnożenia przez liczby zespolone?
____________________________________________________________________________

Do danego x dobierzmy taką liczbę rzeczywistą, aby \(\displaystyle{ e^{ia}f(x) \ge 0}\); wtedy
,

____________________________________________________________________________
z jakiego powodu można napisać \(\displaystyle{ |f(x)|=|f(e^{ia}x)|}\)? Czy \(\displaystyle{ e^{ia}=1}\)?
dlaczego \(\displaystyle{ f}\) można zastąpić przez \(\displaystyle{ g}\)?
dalej, skąd nierówność \(\displaystyle{ |g(e^{ia}x)|\le ||e^{ia}x||}\)
skąd mamy, że \(\displaystyle{ ||e^{ia}x||=||x||}\)?

czyli \(\displaystyle{ ||f|| \le 1}\) i dowód punktu 2. został zakończony.
____________________________________________________________________________
Nie rozumiem, co nam daje, że \(\displaystyle{ ||f|| \le 1}\)?

Ponadto: w powyższym twierdzeniu mamy, że norma nie jest powiększana, ale jednym z wniosków tego twierdzenia jest to, że tę normę można przy rozszerzaniu funkcjonału zachować. Jak to pokazać?

Z góry dzięki za odpowiedzi.
Pozdrawiam

Ad 1. Można się ograniczyć do normy 1, bo jak mamy tw. H-B dla funkcjonałów o normie 1, to zachodzi też dla funkcjonałów o dowolnej normie: po prostu zamiast \(\displaystyle{ f}\) rozszerzamy \(\displaystyle{ \frac{f}{\|f\|}}\), a potem odpowiednio przemnażamy.

Nierówność \(\displaystyle{ |f(x)+ac|\le||x+ax_{0}||}\) bierze się stąd, że aby nie powiększyć normy, rozszerzony funkcjonał też musi mieć normę 1 (albo mniejszą). Ale przecież wiesz, że zawsze jest

\(\displaystyle{ |f(u)|\le \|f\|\cdot\|u\|}\), więc tutaj musi być \(\displaystyle{ |f(u)|\le\|u\|}\), żeby nie powiększyć normy. To postulat, nie wniosek z jakiejś przesłanki. Jeśli teraz

\(\displaystyle{ u=x+ax_0}\) oraz \(\displaystyle{ f(u)=f(x)+ac}\), to musi być

\(\displaystyle{ |f(x+ax_0)|\le\|x+ax_0\|}\), czyli

\(\displaystyle{ |f(x)+ac|\le||x+ax_{0}||}\)

Na resztę nie mam za bardzo czasu, ale myślę, że powinieneś ruszyć. W każdym razie dalej trzeba rozpisać tę nierówność modułową (zwykły moduł mamy po lewej stronie, a rozważania tutaj ewidentnie prowadzone są w przypadku rzeczywistym). Z takiego rozpisania dostanie się nierówność podobną jak w Twoim poście, czyli pokaże się, że takie \(\displaystyle{ c}\) można w ogóle dobrać.

Dobra, to jeszcze wyjaśnię. Po prostu wyjdź od tego: jeśli \(\displaystyle{ x_1\in M}\), to z powyższego postulatu (zastosuj go dla \(\displaystyle{ x_1+x_0}\)) musi być

\(\displaystyle{ |f(x_1)+c|\le \|x_1+x_0\|}\)

i podobnie dla \(\displaystyle{ x_2}\). Rozpisz obie nierówności modułowe i dostaniesz, co napisałeś.

Potem są już standardowe przekształcenia i rozważania na supremach/infimach, co nie powinno byc trudne. Jedynkę masz więc załatwioną, a przynajmniej wyjaśnione najtrudniejsze przejścia. A samo \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) wzięło się z wyboru konkretnej metody dowodowej.

Zastanawia mnie tylko w głównym twierdzeniu brak specyfikacji czy chodzi o przestrzeń rzeczywistą czy zespoloną. Może Maurin od razu zakłada, że X jest zespolona. Klasyczne dowody tw. H-B idą w wersji rzeczywistej, a argument Bohnenblusta i Sobczyka jest króciutki - ich oryginalna praca zawiera 2 strony.

Ok, dzięki, dla przestrzeni rzeczywistej już rozumiem dowód.

Nadal zastanawiam się nad dowodem dla zespolonej przestrzeni Banacha.

Oryginalną pracę Bohnenblusta i Sobczyka masz tutaj.

... 1183500302

Mnie zastanawia brak jawnego użycia lematu Kuratowskiego-Zorna lub tw. Kakutaniego. Gdzie to jest schowane? Wiem, że tw. H-B nie jest równoważne pewnikowi wyboru (czyli da się je udowodnić bez lematu K-Z), jednak dziwi mnie to, bo wszystkie dowody, jakie widziałem korzystają z niego

Użycie lematu K-Z jest schowane gdzieś w rozszerzaniu o punkt. Właśnie tak idą klasyczne dowody. Bierze się relację częściowego porządku tak, że jedna dziedzina zawiera się w drugiej i zachodzi odpowiednia relacja między rozszerzeniami, tj. funkcjonał na "większej" dziedzinie jest rozszerzeniem tego na "mniejszej". A ten argument z przedłużaniem o punkt stosuje się w dowodzie, że elementem maksymalnym jest ten z całą przestrzenią w roli dziedziny. Tu gdzieś to musi być schowane i u Maurina, z którego autor wątku mówi, że korzysta.

rps pisze:Mnie zastanawia brak jawnego użycia lematu Kuratowskiego-Zorna lub tw. Kakutaniego. Gdzie to jest schowane? Wiem, że tw. H-B nie jest równoważne pewnikowi wyboru (czyli da się je udowodnić bez lematu K-Z), jednak dziwi mnie to, bo wszystkie dowody, jakie widziałem korzystają z niego

Tw. HB jest prawdziwe jedynie przy założeniu aksjomatu wyboru (pewnej jego wersji). Przy założeniu prawdziwości tw. HB można pokazać paradoksalny rozkład kuli:

Cześć,

rps napisał pisze:Mnie zastanawia brak jawnego użycia lematu Kuratowskiego-Zorna lub tw. Kakutaniego. Gdzie to jest schowane? Wiem, że tw. H-B nie jest równoważne pewnikowi wyboru (czyli da się je udowodnić bez lematu K-Z), jednak dziwi mnie to, bo wszystkie dowody, jakie widziałem korzystają z niego

Przecież

TWIERDZENIE HAHNA-BANACHA. Jeżeli f jest ograniczonym funkcjonałem liniowym funkcjonałem określonym na liniowej podprzestrzeni M przestrzeni Banacha X, to funkcjonał f można rozszerzyć na całą przestrzeń X nie powiększając normy.

Dowód składa się z trzech kroków:
1. Funkcjonał f można rozszerzyć w rzeczywistej unormowanej przestrzeni na podprzestrzeń M+[x _{0}] , gdzie [x _{0}] jest dowolnym elementem
przestrzeni X.
2. Zachodzi teza punktu 1. dla zespolonej przestrzeni X;
3. Posługując się lematem Zorna otrzymuje się tezę twierdzenia.

Natomiast

szw1710 napisał pisze:Zastanawia mnie tylko w głównym twierdzeniu brak specyfikacji czy chodzi o przestrzeń rzeczywistą czy zespoloną.

W tej książce rzeczywiście, jeżeli nie ma tego wyraźnie podanego, to autor zakłada, że twierdzenia/dowody są dla wersji zespolonej (chociaż chyba nie ma jawnie podanej definicji przestrzeni Banacha )-- 25 gru 2010, o 10:04 --Jeszcze mam wątpliwości, co do:

szw1710 napisał pisze: wiesz, że zawsze jest

\(\displaystyle{ |f(u)|\le \|f\|\cdot\|u\|}\)

Skąd wiemy, że zachodzi ta nierówność?
Oczywiście wiadomo, że zawsze jest:

\(\displaystyle{ \|f(u)||\le \|f\|\cdot\|u\|}\).

Czy pierwszy zapis jest prawdziwy dlatego, że tutaj jest milcząco przyjęta norma supremum
dla funkcji ciągłych?

W ciele zawsze przyjmujemy moduł jako normę. A więc po prostu z definicji zachodzi \(\displaystyle{ \|f(u)\|=|f(u)|}\).

Ein napisał pisze: W ciele zawsze przyjmujemy moduł jako normę. A więc po prostu z definicji zachodzi \(\displaystyle{ \|f(u)\|=|f(u)|.}\)

Dzięki.

Ale uświadomiłem sobie, że jeszcze nie do końca rozumiem dowód tego twierdzenia, tzn. konkretnie punktu 1). Zastanawia mnie mianowicie następująca rzecz:

dla \(\displaystyle{ x_1 \in M}\) mamy:

\(\displaystyle{ |f(x_1)+c|\le \|x_1+x_0\|}\)

ale to daje nam:

\(\displaystyle{ -\|x_1+x_0\| \le f(x_1)+c\le \|x_1+x_0\|}\)

I teraz nie rozumiem, z jakiego powodu Maurin używa jeszcze \(\displaystyle{ x_2}\), bo już teraz możemy wykonać następujące rozumowanie (z tymże mam właśnie wątpliwości, czy to, co napisze będzie poprawne, ale sam nie widzę nigdzie błędu):

\(\displaystyle{ -f(x_{1})-||x_{1}+x_{0}|| \le c \le -f(x_{1})+||x_1+x_0||}\)

dla każdego \(\displaystyle{ x_1 \in M}\). Ale (ta linijka najbardziej mnie zastanawia, bo wygląda to na zbyt proste ):

\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{1})=f(x_{1}-x_{1}) \le ||x_{1}-x_{1}|| \le ||x_{1}+x_{0}||+||x_{1}+x_{0}||}\)

a więc

\(\displaystyle{ \sup_{ x_{1} \in M } (-f(x_1)-||x_{1}+x_{0}||) \le \inf_{x_{1} \in M}(-f(x_{1})+||x_1+x_0||)}\).

Oczywiście, niezależnie od tego, co napisałem dowód Maurina i tak pozostaje prawdziwy, ale obawiam się, że nie zauważam tu jakiejś subtelności.

Ponadto, co do punktu 2:

Do danego x dobierzmy taką liczbę rzeczywistą, aby \(\displaystyle{ e^{ia}f(x) \ge 0}\);

O ile rozumiem, to do zespolonego x dobieramy taką liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ e^{ia}f(x)}\) jest rzeczywiste i większe lub równe 0, ale skąd wiemy, że taka liczba \(\displaystyle{ a}\) w ogóle istnieje?