Matematyka.pl

witam,
czy ktos moglby mi wytlumaczyc na jakims prostym przykladzie np.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x - my=1\\mx - y=1\end{array}}\)
metode wyznacznikowa?
kiedy uklad rownan jest oznaczony, kiedy nieoznaczony a kiedy sprzeczny?
bede wdzieczny takze za jakies linki do lopatologicznych tlumaczen tak zeby zglebic temat
zagadnienie banalne, wiem, ale bede wdzieczny za wszelka pomoc

Na przykład rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{array}}\)
metodą przeciwnych współczynników mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}-a_{1}a_{2}x-a_{2}b_{1}y=-a_{2}c_{1}\\a_{1}a_{2}x+a_{1}b_{2}y=a_{1}c_{2}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}y=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}\)
\(\displaystyle{ (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})y=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ y=\frac{a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}\) podobnie wyznaczasz x.
Otrzymujesz wtedy:
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{array}\right|=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)

\(\displaystyle{ W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{array}\right|=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}\)

\(\displaystyle{ W_{y}=\left|\begin{array}{ccc}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{array}\right|=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}\)
W Twoim przypadku będzie więc tak:
\(\displaystyle{ W= ft|\begin{array}{ccc}1&-m\\m&-1\end{array}\right|=-1+m^{2}}\)

\(\displaystyle{ W_{x}= ft|\begin{array}{ccc}1&1\\-m&-1\end{array}\right|=-1+m}\)

\(\displaystyle{ W_{y}= ft|\begin{array}{ccc}1&m\\1&1\end{array}\right|=1-m}\)

a kiedy uklad rownan jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny?
hm... sprzeczny przy m=1 lub m=-1?
co z reszta?

Układ jest oznaczony gdy:

\(\displaystyle{ W}\neq0}\)

Układ jest nieoznaczony gdy:

\(\displaystyle{ W=0 W_{x}=0 W_{y}=0}\)

Układ jest sprzeczny gdy:

\(\displaystyle{ W=0 (W_{x}\neq0 W_{y}\neq0)}\)

wobec tego w podanym przykladzie:
uklad oznaczony dla m roznego od 1 i -1
nieoznaczony dla m=1 i m=-1
sprzeczny dla m roznego od 1 i -1
zgadza sie?

Układ będzie nieoznaczony tylko dla m=1, dla m=-1 \(\displaystyle{ W=0, W_{x}=-2, W_{y}=2}\)

skad \(\displaystyle{ W_{x}=-2, W_{y}=2}\)?

\(\displaystyle{ W_{x}=-1+m}\)
\(\displaystyle{ W_{y}=1-m}\)

a tak korzystajac z okazji... to jak to jest w przypadku ukladu trzech rownan z trzema niewiadomymi???

Jeśli się nie mylę to jest to mniej więcej coś takiego:


\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}\end{array}}\)

\(\displaystyle{ W= ft|\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{array}\right|=a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-(a_{3}b_{2}c_{1}+a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{1}c_{3})}\)

Resztę wyznaczników oblicza się podobnie jak wyznacznik główny.

\(\displaystyle{ W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ W_{y}= ft|\begin{array}{ccc}a_{1}&d_{1}&c_{1}\\a_{2}&d_{2}&c_{2}\\a_{3}&d_{3}&c_{3}\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ W_{z}= ft|\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&d_{3}\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{W_{x}}{W}}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{W_{y}}{W}}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{W_{z}}{W}}\)

Z resztą jest to opisane

Czy zawsze trzeba pisać wszystkie założenia? Czy tylko te z którego aktualnie chce skorzystać?