Matematyka.pl

Czy poniższe funkcje są jednostajnie ciągłe? Uzasadnić:

\(\displaystyle{ f(x) = cos^{2}x, \ x \in R \\
f(x) = cos(sinx), \ x \in R}\)


Próbowałem i z Lipschitza i z definicji, ale mimo że przykłady są proste, to jakoś się w tym gubię. Byłbym wdzięczny za dokładne (acz zrozumiałe) wytłumaczenie metody rozwiązywania takich przykładów.

Nie wiem z czego możesz korzystać, ale jeśli funkcja ma pochodną ograniczoną to spełnia warunek Lipschitza.

Takiego twierdzenia jeszcze nie miałem, więc nie mogę z niego korzystać.

A może skorzystaj z definicji jednostajnej ciągłości i z definicji ciągu Cauchy'ego...

Tak jak piszę - próbowałem korzystać z def. jednostajnej ciągłości, ale gubię się w tym, nie potrafię odpowiednio dobrać epsilona i sigmy - stąd proszę o bardziej konkretną pomoc.

Michale, ciśnij z warunku Lipschitza.

\(\displaystyle{ |f(y) - f(x)| = |cos(siny) - cos(sinx)| = |-2sin\frac{siny - sinx}{2}sin\frac{siny + sinx}{2} |}\)

Z racji tego że sinus jest ograniczony przez 1 i że \(\displaystyle{ sinx \le x}\)

\(\displaystyle{ |-2sin\frac{siny - sinx}{2}sin\frac{siny + sinx}{2} | \le 2|sin\frac{siny - sinx}{2}| \le 2|siny - sinx| = 2|2sin\frac{y - x}{2}cos\frac{y + x}{2}| \le 4|y - x|}\)

Identyczne rozumowanie z cosinusem kwadrat.