Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ |x ^{3}+x+1|=1}\)

zał. \(\displaystyle{ x ^{3}+x+1 \ge 0 \vee x ^{3}+x+1<0}\) wielomian nie ma pierwiastków, jak powinnam je rozpisać- I \(\displaystyle{ x \in R}\), a jak II?
Mam problem tylko z założeniem.

Pozdrawiam

\(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=1}\)
lub
\(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=-1}\)

nmn dlaczego takie założenia? myślałam, że wartość w module I musi być \(\displaystyle{ \ge 0}\) II \(\displaystyle{ <0}\) tylko nie wiem co mam z tym zrobić, ponieważ powstały wielomian nie ma pierwiastków

Tego typu równania możesz liczyć bez założeń, z własności wartości bezwzględnej.

Te założenia wynikają właśnie z własności wartości bezwzględnej.

Raczej z definicji
Ja miałem na myśli taką własność:
\(\displaystyle{ |x|=a \Leftrightarrow x=a \vee x=-a}\)

Ja też maiłam na myśli tą własność, stąd właśnie na początku tak zapisałam. Nie wiem tylko co mam dalej z tym zrobić
Nie wiem, ponieważ powstała nierówność wielomianowa \(\displaystyle{ x ^{3}+x+1 \ge 0 \vee x ^{3}+x+1<0}\) nie ma pierwiastków.

nmn pisze:\(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=1}\)
lub
\(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=-1}\)

Aleś uparta.
Rozwiązuj to co napiałam. Gwarantuję, że wyjdzie dobre rozwiązanie.

Tutaj nie musisz rozpatrywać tego w przedziałach! Po prostu rozbijasz na 2 przypadki i wyliczasz miejsca zerowe, tak jak napisała @nmn

PS. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+x+1}\) ma miejsce zerowe.

Pozdrawiam.

nmn tak też zrobiłam i otrzymałam prawidłową odpowiedź
Nie za bardzo wiem dlaczego nie muszę rozpatrywać tego w przedziałach.

Wynika to z własności wartości bezwzględnej, którą Ci wyżej napisałem.

Załóżmy, że mamy dane \(\displaystyle{ |x-2|=1}\). tak więc rozpisuję I dla \(\displaystyle{ x \ge 2}\) II dla \(\displaystyle{ x<2}\). I o takie właśnie założenia mi chodziło. Dlaczego więc w tym przypadku nie muszę pisać takich założeń? zadaję pytanie, ponieważ chcę wszystko dobrze zrozumieć, a widzę jednak, że mam jakieś braki.

Vax pisze: PS. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+x+1}\) ma miejsce zerowe.

Jakie?

Vax pisze:
PS. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+x+1}\) ma miejsce zerowe.

Pozdrawiam.

A dokładnie taki:

\(\displaystyle{ x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{93}-9}}{\sqrt[3]{18}}-\frac{\sqrt[3]{18}}{3\sqrt[3]{\sqrt{93}-9}}}\)

Pozdrawiam.

Dzięki;)