Matematyka.pl

1. Wykaż, że 11 dzieli\(\displaystyle{ (43^{23}+23^{43})}\)

2. Dowieść, że jeśli żadna z liczb n-1, n, n+1, (n jest to liczba naturalna) nie jest podzielna przez 5 to liczba \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) dzieli się przez 5.

3. Liczby 15 i 28 są dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n^{2}, n N}\). Wykaż, że 9 dzieli \(\displaystyle{ n^{2}}\)

4. Dowieść następującej podzielności liczby 4:
Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli suma cyfry jedności i podwojonej cyfry dziesiątek jest podzielna przez4.

Z góry dziękuję za jakiekolwiek wskazówki

Ad.1.
\(\displaystyle{ {43}\equiv{-1}(mod11)\,\Rightarrow\,{43^{23}}\equiv{(-1)^{23}}\equiv{-1}(mod11)\\{23}\equiv{1}(mod11)\,\Rightarrow\,{23^{43}}\equiv{(1)^{43}}\equiv{1}(mod11)}\)
Dodajemy stronami i jest.
Ad.2.
Z treści wynika, że \(\displaystyle{ ({n}\equiv{2}(mod5)\,\vee\,{n}\equiv{-2}(mod5))\Rightarrow\,{n^{2}+1}\equiv{4+1}\equiv{0}(mod5)}\)
Ad.3.
Nie wiem po co informacja, że 28 dzieli \(\displaystyle{ n^{2}}\)
\(\displaystyle{ 15|n^{2}\,\Rightarrow\,3|n^{2}\,\Rightarrow\,3|n\,\Rightarrow\,9|n^{2}}\)
Ad.4.
Mamy wykazać, że zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ 2a+b=4k\,\Rightarrow\,100c+10a+b=4l,\,a,b,c,k,l\in\mathbb{N}}\)
Faktycznie:
\(\displaystyle{ 2a+b=4k\,\Rightarrow\,100c+10a+b=4\cdot25c+8b+4k=4(25c+2b+k)=4l,\,a,b,c,k,l\in\mathbb{N}}\)
c.n.d.

A czy mógłbyś dokładniej wyjaśnić o co chodzi z tym mod, bo nie bardzo rozumiem

kongruencje, poczytaj to:

albo:
pl.wikipedia.org