Matematyka.pl

Witam! Bardzo proszę o pomoc z poniższym przykładem:

Zbadać ciągłość funkcji.

\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ f(x) = \begin{cases} sin( \pi x) \ dla \ x \in \mathbb{Q} \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}}\)


Wiem tylko, że najwygodniej będzie tu wybrać dwa podciągi i na ich podstawie pokazać, że funkcja nie jest ciągła. No, ale właśnie... jakie podciągi i jak to wykazać?

Rozważ dwa ciągli dążące do \(\displaystyle{ k \pi}\) po liczbach wymiernych i po niewymiernych, tzn. przebiegające tylko wartości wymierne i niewymierne, wykażesz w ten sposób, ze funckja jest ciągła tylko w punktach postaci \(\displaystyle{ k \pi}\). Podobnie pokazuje się że w innych jest nieciągła.