X Jasielski Konkurs Matematyczny im. H. Steinhausa

[anai]

X JASIELSKI KONKURS MATEMATYCZNY IM. H. STEINHAUSA
4 grudnia 2010 r.

Zadania dla klasy pierwszej:

1. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba \(\displaystyle{ 9 ^{n}\cdot\left(9^{n}+1\right)+1}\) jest złożona.

2. Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie P. Wykaż, że jeśli przez punkt P poprowadzimy dowolną sieczną, to przetnie ona okręgi w takich punktach, różnych od P, że styczne poprowadzone do okręgów w tych punktach są równoległe.

3. Wykaż, że istnieją co najmniej dwie naturalne potęgi liczby 2 takie, że ich różnica jest podzielna przez 1000.

4(S). Mamy dwa trójkąty. Każdy bok pierwszego z nich jest większy od każdego boku drugiego. Czy wynika stąd, że pole pierwszego trójkąta jest większe od pola drugiego? Odpowiedź dokładnie uzasadnij.
___
Brał ktoś udział? Podzielcie się rozwiązaniami.

[anai]

Zadania:
Laureaci: ... aus_wyniki

[Acros]

ma ktoś rozwiązania i odpowiedzi do tych zadań ??