Matematyka.pl

Wykaż,że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej c i o przyprostokątnych a, b, wyraża się wzorem \(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\).

Z jednej strony pole trójkąta jest równe \(\displaystyle{ \frac 12 ab}\). Z drugiej zaś \(\displaystyle{ \frac{r(a+b+c)}{2}}\). Tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{r(a+b+c)}{2}=\frac 12ab}\)
skąd:
\(\displaystyle{ r=\frac{ab}{a+b+c}}\)

Wskazówka: pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ a+b-c}\), a potem dla uproszczenia mianownika zastosuj najpierw wzór na różnicę kwadratów, a potem twierdzenie Pitagorasa.

Q.

Gdy pomnożę przez a+b-c licznik i mianownik i po przekształceniach wyjdzie mi że \(\displaystyle{ r= \frac{ab(a+b-c)}{ a^{2}+ b^{2} +2ab - c^{2} }}\) to w mianowniku nie widzę wzoru na różnice kwadratów jedynie na sumę kwadratów.

Wzór na różnicę kwadratów zawiera się w tym "po przekształceniach" - gdybyś go użyła, szybciej doszłabyś do postaci, którą tu przedstawiłaś (bo \(\displaystyle{ (a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2}\)). Teraz wykorzystaj równość \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\).

Q.