Matematyka.pl

Mam problem z udowodnieniem podzielności w tym przykładzie:
\(\displaystyle{ 41|5 \cdot 7^{2n+2}+2^{3n}}\)
Dla każdej dodatniej naturalnej n.

Z czym dokładnie masz problem? Pokaż, do czego doszedłeś.

Założenie:\(\displaystyle{ 41|5 \cdot 7^{2n+2}+2^{3n}}\)
Teza:\(\displaystyle{ 41|5 \cdot 7^{2n+4}+2^{3n+3}}\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 7^{2n+4}+2^{3n+3}=5 \cdot 7^2 \cdot 7^{2n+2}+2^3\cdot 2^{3n}=(237+8) \cdot 7^{2n+2}+ 8 \cdot 2^{3n}= 8(5 \cdot 7^{2n+2}+2^{3n}) + 237 \cdot 7^{2n+2}}\)
No i pierwszy składnik tej sumy jest podzielny na mocy założenia, a z drugim nie mam pojęcia co zrobić, może popełniłem gdzieś w obliczeniach błąd...

Moonglum pisze:\(\displaystyle{ (237+8) \cdot 7^{2n+2}+ 8 \cdot 2^{3n}= 8(5 \cdot 7^{2n+2}+2^{3n}) + 237 \cdot 7^{2n+2}}\)

Ta równość jest nieprawdziwa.

Żeby otrzymać to co chcesz, powinieneś w pierwszym nawiasie napisać nie \(\displaystyle{ 237+8}\), tylko \(\displaystyle{ 205+8\cdot 5}\). Wtedy z prawej strony będzie nie \(\displaystyle{ 237}\), tylko \(\displaystyle{ 205}\) i wszystko będzie ok.

Q.

Dzięki! Wiedziałem, że popełniłem jakiś głupi błąd..