[MIX] kilka zadanek z kółka
: 1 gru 2010, o 21:00
1) Rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ {30 \choose n}< {30 \choose 2n} , n \in N}\)
Rozwiązane
2) Rozwiązać równanie ze zmienną \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ sin(2x)=sin(3x)}\)
3) Wyznaczyć wszystkie możliwe długości przekątnych rombu o boku 10.
4) Czy liczba postaci \(\displaystyle{ (n-1)!n! ,n \in N}\) może być kwadratem liczby naturalnej?
Rozwiązane
5) Jakie długości mogą przyjmować ramiona trapezu o podstawach długości 12, 17
6) Wyznacz wszystkie \(\displaystyle{ n \in N}\) takie, że \(\displaystyle{ n^{3}|n!}\)
7) Podróż wyciągiem krzesełkowym w górę trwa 60 minut. Krzesełko startuje co minutę. Ile krzesełek zjeżdżających w dół miniesz, jadąc do góry, jeżeli pierwsze krzesełko mijasz przy wsiadaniu, a ostatnie przy wysiadaniu?
8) Czy w trójkącie o bokach 2, 3, 4 każdy z trzech kątów ma miarę mniejszą od 120º? Rozwiązane
9) Na okręgu zaznaczono 7 punktów i narysowano wszystkie cięciwy o końcach w tych punktach. Okazało się, że żadne trzy z narysowanych cięciw nie mają wspólnego punktu wewnątrz koła ograniczonego danym okręgiem. Na ile obszarów zostało podzielone koło?
10) Ile trójkątów równoramiennych można utworzyć na wierzchołkach siedmiokąta foremnego? Rozwiązane
11) Miary zewnętrznych kątów trójkąta są w proporcji 6:7:11. Jaki jest kąt między wysokościami opuszczonymi z wierzchołków mniejszych kątów wewnętrznych tego trójkąta?
12) Jaki kąt tworzy styczna do okręgu i cięciwa wychodząca z punktu styczności, która dzieli okrąg w stosunku 3:7? Rozwiązane
13) Sformułuj i uzasadnij cechę podzielności przez 1125. Rozwiązane
14) Na okręgu zaznaczono n punktów i narysowano wszystkie cięciwy o końcach w tych punktach. Okazało się, że żadne trzy z narysowanych cięciw nie mają wspólnego punktu wewnątrz koła ograniczonego danym okręgiem. Koło zostało w ten sposób podzielone na 256 obszarów.
Ile wynosi n?
15) Mamy 2 kupki po 2008 i 2009 cukierków. Dwaj gracze na przemian wykonują ruchy polegające na zabraniu jednej kupki i podzieleniu pozostałej na dwie kupki. Przegrywa gracz, który nie może wykonać ruchu. Kto ma strategię wygrywającą w tej grze?
16) Czy w trójkącie o bokach długości 2, 4, 5 istnieje kąt mający miarę mniejszą od 60 stopni?
17) Piszemy jedna za drugą kolejne liczby naturalne zaczynając od 1. Jaka cyfra stoi na 2008 miejscu?
18) Ile prostokątów znajduje się na szachownicy 10x10?
Powodzenia : D
\(\displaystyle{ {30 \choose n}< {30 \choose 2n} , n \in N}\)
Rozwiązane
2) Rozwiązać równanie ze zmienną \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ sin(2x)=sin(3x)}\)
3) Wyznaczyć wszystkie możliwe długości przekątnych rombu o boku 10.
4) Czy liczba postaci \(\displaystyle{ (n-1)!n! ,n \in N}\) może być kwadratem liczby naturalnej?
Rozwiązane
5) Jakie długości mogą przyjmować ramiona trapezu o podstawach długości 12, 17
6) Wyznacz wszystkie \(\displaystyle{ n \in N}\) takie, że \(\displaystyle{ n^{3}|n!}\)
7) Podróż wyciągiem krzesełkowym w górę trwa 60 minut. Krzesełko startuje co minutę. Ile krzesełek zjeżdżających w dół miniesz, jadąc do góry, jeżeli pierwsze krzesełko mijasz przy wsiadaniu, a ostatnie przy wysiadaniu?
8) Czy w trójkącie o bokach 2, 3, 4 każdy z trzech kątów ma miarę mniejszą od 120º? Rozwiązane
9) Na okręgu zaznaczono 7 punktów i narysowano wszystkie cięciwy o końcach w tych punktach. Okazało się, że żadne trzy z narysowanych cięciw nie mają wspólnego punktu wewnątrz koła ograniczonego danym okręgiem. Na ile obszarów zostało podzielone koło?
10) Ile trójkątów równoramiennych można utworzyć na wierzchołkach siedmiokąta foremnego? Rozwiązane
11) Miary zewnętrznych kątów trójkąta są w proporcji 6:7:11. Jaki jest kąt między wysokościami opuszczonymi z wierzchołków mniejszych kątów wewnętrznych tego trójkąta?
12) Jaki kąt tworzy styczna do okręgu i cięciwa wychodząca z punktu styczności, która dzieli okrąg w stosunku 3:7? Rozwiązane
13) Sformułuj i uzasadnij cechę podzielności przez 1125. Rozwiązane
14) Na okręgu zaznaczono n punktów i narysowano wszystkie cięciwy o końcach w tych punktach. Okazało się, że żadne trzy z narysowanych cięciw nie mają wspólnego punktu wewnątrz koła ograniczonego danym okręgiem. Koło zostało w ten sposób podzielone na 256 obszarów.
Ile wynosi n?
15) Mamy 2 kupki po 2008 i 2009 cukierków. Dwaj gracze na przemian wykonują ruchy polegające na zabraniu jednej kupki i podzieleniu pozostałej na dwie kupki. Przegrywa gracz, który nie może wykonać ruchu. Kto ma strategię wygrywającą w tej grze?
16) Czy w trójkącie o bokach długości 2, 4, 5 istnieje kąt mający miarę mniejszą od 60 stopni?
17) Piszemy jedna za drugą kolejne liczby naturalne zaczynając od 1. Jaka cyfra stoi na 2008 miejscu?
18) Ile prostokątów znajduje się na szachownicy 10x10?
Powodzenia : D