Matematyka.pl

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a_n\geq0}\) i \(\displaystyle{ a_n}\) - ciąg malejący i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}a_n}\) zbieżny, to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (na_n)=0}\)

No tak granice...

Większej ilości bzdur w jednym poście nie przeczytałem.

Przecież \(\displaystyle{ a_n}\) nie musi być ciągiem geometrycznym!

Wybiermy dowolny \(\displaystyle{ \epsilon>0}\)
wówczas
\(\displaystyle{ \exists_{N_{1}} \forall_{n,k>N_{1}} \sum\limits_{i=k}^{n}a_{i}< \frac{\epsilon}{2}}\)
Ustalmy teraz \(\displaystyle{ k>N_{1}}\), wówczas
\(\displaystyle{ \exists_{N_{2}} \forall_{n>N_{2}} a_{n}< \frac{\epsilon}{2k}}\)

Na koniec niech
\(\displaystyle{ N=max\{N_{1},N_{2},k\}}\)
wówczas dla n>N
\(\displaystyle{ na_{n}=ka_{n}+(n-k)a_{n} < \frac{k\epsilon}{2k}+ \sum\limits_{i=k}^{n}a_{i}< \frac{\epsilon}{2}+ \frac{\epsilon}{2}=\epsilon}\)

No i teraz wytarczy napisać czemu to jest koniec...