Matematyka.pl

obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{A} f(x)d \mu}\)

gdzie: \(\displaystyle{ A=\RR _{+}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=e ^{x}}\)

\(\displaystyle{ \mu= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{ k! } \cdot \delta_{\{k\}}}\)

\(\displaystyle{ \delta_{\{k\}} \left( A\right)= \begin{cases} 1 : k \in A \\ 0 : k \notin A\end{cases}}\)

prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}_+}fd\mu=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^k}{k!}=e^e}\), gdyż \(\displaystyle{ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}}\).

Uzasadnienie.

Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+=\bigcup_{k=0}^{\infty} [k,k+1)}\), zatem

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}_+}fd\mu=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{[k,k+1)}fd\mu}\)

Z kolei \(\displaystyle{ [k,k+1)={k}\cup (k,k+1)}\), a \(\displaystyle{ \mu\left((k,k+1)\right)=0}\), gdyż nie ma tam żadnej liczby całkowitej. Stąd

\(\displaystyle{ \int_{[k,k+1)}fd\mu=\int_{{k}}fd\mu+\int_{(k,k+1)}fd\mu=\int_{{k}}fd\mu}\), gdyż ta druga calka jest po zbiorze miary zero, więc jest równa zero.

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \int_{\{k\}}fd\mu=f(k)\mu\left(\{k\}\right)=\frac{e^k}{k!}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}_+}fd\mu=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{\{k\}}fd\mu=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^k}{k!}=e^e}\)

Odgrzebuję temat bo uczę sią całek Lebesgue'a i przeglądam tematy tego dotyczące. Czy przypadkiem odpowiedzią nie powinno być \(\displaystyle{ e^{e} -1}\) ?
Bo skoro całkujemy po \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\) to miara w punkcie \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} }\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Czyli sumowanie powinniśmy zacząć od \(\displaystyle{ k=1}\).

Zależy co uznajemy za \(\displaystyle{ \RR_+}\). W sensie \(\displaystyle{ \left[0, \infty \right) }\) czy \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right) }\)? Jeśli \(\displaystyle{ \left[0, \infty \right)}\) to \(\displaystyle{ \delta_{ \left\{ 0\right\} }=1}\) bo \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} \subset \left[0, \infty \right) }\). Ale jeśli uznajesz \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right) }\) to wtedy faktycznie \(\displaystyle{ \delta_{ \left\{ 0\right\} }=0}\) i od wyniku trzeba odjąć jeden.

PS dodam, że oznaczenie \(\displaystyle{ \left[0, \infty \right) }\) przez \(\displaystyle{ \RR_+}\) nie jest niestandardowe.

Ooo dziękuję bardzo za szybką odpowiedź. Nie spotkałem się z tym oznaczeniem wcześniej( albo zapomniałem) i jakoś pomyślałem że to musi być przedział otwarty.