Matematyka.pl

witam,
mam zadanko do rozwiazania;]

mamy ciąg okreslony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}=1/4\\a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}\end{array}\right.}\)

udowodnić, że ciąg jest zbieżny i obliczyc jego granicę próbuję się do tego jakoś zabrać ale nie mogę jakoś wpaść na żaden pomysł ;(

a, przy okazji, jak mam \(\displaystyle{ n\geq1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_{n+1}}}\) to co się dzieje jak podstawię 1 ? można tak w ogóle napisać? bo jeżeli to zamienić na \(\displaystyle{ a_{n+1}^\frac{1}{n}}\) to wszystko jest niby ok.

[ Dodano: 26 Listopad 2006, 13:00 ]
kurcze, nikt naprawdę tego nie umie ?

jutro kolokwium, a tu nic nie ruszyło widzę

Pokazemy, ze ciag jest rosnacy i ograniczony z gory.

Zalozmy, ze \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\setminus\{1\} : a_{n} > a_{n-1}}\).

\(\displaystyle{ a_{n+1}^2 = a_n > a_{n-1} = a_n^2}\), co dowodzi monotonicznosci ciagu.


Wykazemy teraz, ze ciag jest ograniczony z gory przez \(\displaystyle{ 1}\).

Zalozmy, ze \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N} : a_n}\)

Oczywiście granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\)