[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: a4karo »

@kerajs. Funkcja \(\displaystyle{ \sin x-\sin(1)}\) tez nie jest algebraiczne
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Sądziłem, że powszechnie znany fakt o przestępności sinusa jest wystarczającym do udzielenia odpowiedzi negatywnej.
Jeżeli się myliłem, co może zweryfikować Przemek, to poprzednie pytanie nadal będzie aktualne. W przeciwnej sytuacji dowolna osoba będzie mogła przedstawić swój problemat.
moje pytanie:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Sorry, myślałem że to już jasne, Przemek weryfikuje negatywnie. Stwierdzenie a4karo pokazuje, że Twoje uzasadnienie nie jest wystarczające, gdyż odpowiedź na podobne (acz znacznie łatwiejsze) pytanie „czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \sin n-\sin 1}\) jest liczbą wymierną" okazuje się twierdząca (\(\displaystyle{ n=1}\)). Zadanie jest wciąż aktualne, ale jeśli nie chcecie go rozwiązywać, to można też pominąć i wrzucić coś innego, po co wątek ma stać…
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

To zadanie to był żart, tylko że nikt nie załapał. Nowe:

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_1=1, \ a_2=4, \ a_3=15, \ a_n=15a_{n-2}-4a_{n-3}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\). Proszę udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczbą pierwszą.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ r^3-15r+4=0\\
(r+4)(r-2- \sqrt{3} )(r-2+ \sqrt{3} )=0\\
a_n=A(-4)^n+B(2+ \sqrt{3} )^n+C(2- \sqrt{3} )^n\\
...\\
a_n= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^n-(2- \sqrt{3} )^n\right)}\)



\(\displaystyle{ p^n-q^n=(p-q) \sum_{i=0}^{n-1}p^{n-1-i}q^i}\)
1) indeksy parzyste:
\(\displaystyle{ a_{2k}= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2k}-(2- \sqrt{3} )^{2k}\right)=
\frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2}-(2- \sqrt{3} )^{2}\right) \cdot \\ \cdot \sum_{i=0}^{k-1}\left[ (2+ \sqrt{3} )^2\right] ^{k-1-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^2\right]^{i}=4 \sum_{i=0}^{k-1}\left[ (2+ \sqrt{3} )^2\right] ^{k-1-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^2\right]^{i}}\)

Wyrazy o indeksach parzystych są liczbami złożonymi.
2) indeksy nieparzyste złożone:
\(\displaystyle{ a_{(2k+1)(2l+1)}= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{(2k+1)(2l+1)}-(2- \sqrt{3} )^{(2k+1)(2l+1)}\right)=\\
= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}-(2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right)
\sum_{i=0}^{2k}\left[ (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}\right] ^{2k-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right]^{i}=\\
=\sum_{j=0}^{2l} (2+ \sqrt{3} ) ^{2l-j} (2- \sqrt{3})^{j} \sum_{i=0}^{2k}\left[ (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}\right] ^{2k-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right]^{i}}\)

Wyrazy o indeksach nieparzystych złożonych są liczbami złożonymi.

Z 1), 2) wynika, że tylko wyrazy ciągu o indeksach będących liczbami pierwszymi mają szansę być liczbami pierwszymi.


NOWE (poziom gimnazjum):
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich, to \(\displaystyle{ kp}\) także można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich.
PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: PokEmil »

Jeśli \(\displaystyle{ p=1^2+1^2=2}\) oraz \(\displaystyle{ k=2^2+2^2=8}\), to \(\displaystyle{ pk=16}\) i nie da się jej przedstawić jako sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych - teza jest nieprawdziwa. Przyjmijmy więc, że \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) będą sumą dwóch kwadratów różnych liczb naturalnych dodatnich.

Niech \(\displaystyle{ p=a^2+b^2}\) oraz \(\displaystyle{ k=c^2+d^2}\) (oczywiście \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \NN_+}\)). Wówczas \(\displaystyle{ pk=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ac+bd)^2 + |ad-bc|^2}\).
Można to także przedstawić jako \(\displaystyle{ pk=|ac-bd|^2+(ad+bc)^2}\).
Jest to suma dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich, o ile \(\displaystyle{ ad \neq bc}\) oraz \(\displaystyle{ ac \neq bd}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ ad=bc}\) oraz \(\displaystyle{ ac=bd}\), to mnożąc stronami mamy \(\displaystyle{ a^2cd=b^2cd}\), czyli \(\displaystyle{ a=b}\), a także \(\displaystyle{ c=d}\), czyli sprzeczność z założeniem opisanym wyżej.

Następne:
Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n>1}\) o następującej własności: dla każdej liczby \(\displaystyle{ d>1}\) będącej dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ d-1}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n-1}\).
bartokot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 22 lut 2017, o 13:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/opolskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: bartokot »

Ukryta treść:    
Nowe: Niech \(\displaystyle{ S(n)}\) będzie sumą cyfr w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ n}\). Wyznacz \(\displaystyle{ S(S(S(1989^{1989})))}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Nowe (akurat sprzed paru dni):
proszę wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (k,n)}\) liczb całkowitych dodatnich, dla których zachodzi równość
\(\displaystyle{ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\ldots(2^n-2^{n-1})}\).
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Ukryta treść:    

Gdyby Przemek zaakceptował powyższe rozwiązanie, to dowolna osoba może wstawić nowe zadanie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

to dowolna osoba może wstawić
Niech \(\displaystyle{ p> 5}\) będzie liczbą pierwsza i
\(\displaystyle{ \frac{1}{p-1}+ \frac{2}{p-2}+...+ \frac{p-1}{1}= \frac{a}{b},}\) zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze. Udowodnić że \(\displaystyle{ a-b+bp}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p^3.}\)
Ostatnio zmieniony 7 sie 2019, o 22:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

kerajs, ale ten iloczyn to jest
\(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n-1} (2^n-2^i)}\) a nie \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n-i)}\), co sugeruje Twój zapis.-- 8 sie 2019, o 01:22 --
zadanie mola, trochę brzydko:    
Mam nadzieję, że ktoś to sprawdzi…

Obawiam się, że dalej obowiązuje moje zadanie (IMO 2019, P4).
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Zabawne, że rozwiązałem inne zadanie. Po prostu źle je przepisałem.
Zabawnym jest także to, iż mimo rozwiązania innego zadania odpowiedź podałem prawidłową.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Pomysł bardzo ciekawy, choć IMHO trochę niedokończone to uzasadnienie, ale już nie rozdrabniajmy się, wrzuć proszę następne zadanie.
inaczej:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Ciągi \(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\) określa zależność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}= \sqrt{k^2+k+1+b_n} \\ b_{n+1}= \sqrt{k^2+k+1-a_n} \end{cases}}\)
dla pewnej naturalnej \(\displaystyle{ k}\) i przy \(\displaystyle{ a_0=b_0=0}\).
Czy ciągi \(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\) mają granice, a jesli tak to ile one wynoszą?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

IMHO to zadanie nie ma nic wspólnego z teorią liczb, ale może czegoś nie dostrzegam.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ