Matematyka.pl

Wykazać,ze dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) liczba \(\displaystyle{ n^{n} - n^{2} + n-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ (n-1) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ n^{n}-n^{2}+n-1=n^{2}(n^{n-2}-1)+n-1=n^{2}(n-1)(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)+(n-1)=(n-1)[n^{2}(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)+1]}\)

Teraz wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ n-1|n^{2}(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)+1}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ n \equiv 1(mod (n-1))}\) to:
\(\displaystyle{ n^{k} \equiv1(mod (n-1)) , k \in N}\)
Widzimy więc, że każdy czynnik (jest ich n-2) w nawiasie \(\displaystyle{ (n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)}\) przystaje do 1 w mod n-1, oraz \(\displaystyle{ n^{2}}\) też, mamy:
\(\displaystyle{ n^{2}(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1) \equiv n-2 (mod (n-1))}\) czyli:
\(\displaystyle{ n^{2}(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)+1 \equiv n-1 \equiv 0(mod (n-1))}\)

Zapisując moduły dawałem nawiasy (n-1) bo nie wiem jak zapisać, żeby sie nie zlewało i nie bylo modn-1 ; D

Można też wziąć sobie wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^n-nx+n-1}\) i pokazać, że 1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym, czyli \(\displaystyle{ W(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ W'(1)=0}\), a to już megatrywialne.

EDIT (Do Ahhaa):
Jak zapisujesz w TeXu, że coś jest modulo k, lepiej używać pmod{k}