Matematyka.pl

Niebawem ruszy konkurs matematyka.pl, jednak zanim to nastąpi - mała rozgrzewka. Zachęcamy wszystkich do udziału w konkursie!

Zadania:

1. Ciąg \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots}\) dodatnich liczb całkowitych jest wyznaczany przez swoje dwa pierwsze wyrazy oraz zależność rekurencyjną \(\displaystyle{ a_{n+2} = \frac{a_{n+1} + a_n }{\nwd (a_{n+1}, a_n)}}\). Wyznacz, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) ciąg ten jest ograniczony.
2. \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem sfery \(\displaystyle{ S}\). Punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) znajdują się wewnątrz \(\displaystyle{ S}\). Odcinek \(\displaystyle{ OA}\) jest prostopadły do odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Istnieją dwie sfery znajdujące się wewnątrz \(\displaystyle{ S}\), które przechodzą przez punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), i są zarazem styczne do \(\displaystyle{ S}\). Pokaż, że suma promieni tych dwóch sfer jest równa promieniowi sfery \(\displaystyle{ S}\).
3. Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi spełniającymi warunek \(\displaystyle{ E \left| X+Y\right|^a < \infty}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a > 0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ E \left| X\right|^a < \infty}\).

Regulamin:

• Konkurs trwa od 26 listopada 2010 do 5 grudnia 2010 włącznie.
• W konkursie mogą brać udział wszyscy zarejestrowani użytkownicy forum matematyka.pl
• Rozwiązane zadania należy nadsyłać w formie prywatnej wiadomości do użytkownika Liga.
• Każdy uczestnik może nadesłać rozwiązania zadań tylko jeden raz.
• Skala ocen jest identyczna jak na Olimpiadzie Matematycznej ().
• Zadania należy rozwiązywać samodzielnie; wszelkie wykryte próby oszustwa spowodują dyskwalifikację nieuczciwych uczestników
• O uzyskanych wynikach wszyscy uczestnicy zostaną powiadomieni nie później jak 7 dni od końcowej daty nadsyłania rozwiązań.
• Administratorzy forum nie mogą brać udziału w konkursie.
• Tzw. firmowe rozwiązania zadań nie zostaną opublikowane.
• Najwyżej ocenione rozwiązanie zostanie nagrodzone koszulką matematyka.pl.
• W przypadku osiągnięcia identycznej liczby punktów przez uczestników konkursu, o kolejności zadecyduje data nadesłania rozwiązania.
• Administratorzy forum zastrzegają sobie prawo do interpretacji regulaminu

Rozgrzewka dobiegła końca, poniżej prezentujemy listę laureatów, w kolejności od najlepszej pracy:

1. limes123
2. szydra
3. silvaran

Jednocześnie miło jest nam oznajmić, że zdecydowaliśmy poszerzyć pulę nagród - każdy z laureatów będzie mógł wybrać sobie koszulkę sygnowaną logo matematyka.pl.

Wszystkim uczestnikom dziękujemy serdecznie za udział!


Przy okazji chcielibyśmy zapytać się Was, jak oceniacie poziom przedstawionych zadań oraz czego oczekujecie po (już pełnoprawnym) konkursie matematyka.pl? Zapraszamy do dyskusji!

Rozumiem, że konkurs będzie podzielony na jakieś kategorie?

Tak, jak poprzednia edycja.

Uważam, że poziom zadań był wysoki, jednak taki powinien pozostać. Konkurs, w którym wiele prac uzyskuje maksymalną liczbę punktów trochę mija się z celem...