Matematyka.pl

wykaż, że dla \(\displaystyle{ a,b,c > 0 , a \cdot b \cdot c = 1}\) prawdziwa jest nierownosc \(\displaystyle{ a+b+c \ge 3}\)

dzieki z gory za wskazowki

chyba \(\displaystyle{ a,b,c >0}\)
bo jak któraś będzie równa zero to i \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c =0}\)

zgadza sie, sory za pomylke, juz porpawilem temat

Zauważ, że gdy wstawisz \(\displaystyle{ a:= \frac{x}{y}}\), \(\displaystyle{ b:= \frac{y}{z}}\), \(\displaystyle{ c:= \frac{z}{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y,z \in \mathbb{R} _{+}}\)

to ich iloczyn będzie = 1, zgadza się?

Więc masz do udowodnienia:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x} \ge 3}\)

A to już jest proste.

\(\displaystyle{ 1 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}\) też jest równe \(\displaystyle{ 1}\)

Poczytaj o ujednorodnianiu i tym, w jaki sposób w naszym przypadku wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y,z}\).

Pozdrawiam.

EDIT: Żeby potem nie dopisywać. Dla przypadku \(\displaystyle{ \left(a,b,c\right) =\left( 1, \frac{5}{2} , \frac{2}{5} \right)}\) możemy wziąć chociażby \(\displaystyle{ \left(x,y,z\right) = \left(1,1,\frac{2}{5}\right)}\)

Chodzi o to, że nie jestem pewna czy za dane liczby a,b,c można podstawiać nowe zmienne.

Oczywiście że można tak podstawić

to ich iloczyn będzie = 1, zgadza się?

Więc masz do udowodnienia:



A to już jest proste.

czyli jak to udowdnic bo kurcze nie wiem ; /

Skorzystaj z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech liczb.

No to korzystając z tej zależności nie trzeba wcale wprowadzać nowych zmiennych.

\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ a+b+c \ge 3}\)

Korzystać z założenia można na początku, a można też pod koniec. Ja się nauczyłem, żeby dokonywać ujednorodnienia na samym początku, by pozbyć się założeń i patrzeć na nierówność bez żadnych zobowiązań.