Matematyka.pl

oblicz
\(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{n^{n + 1} e}} {{\left( {n + 1} \right)^n }} - n} \right)}\)

Do wspólnego mianownika i podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^n}\)

\(\displaystyle{ \frac{ne-n(1+ \frac{1}{n})^n }{(1+ \frac{1}{n})^n }}\)

i???

Skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\)

ares41 pisze:Skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\)

niezwykle cenna wskazówka, pokaż w jaki sposób jej używasz aby rozwiązać zadanie

Ja tu nie widzę innego rozwiązania, niż szacowania korzystające z rozwinięcia \(\displaystyle{ \ln x}\) w szereg Taylora (kilka wyrazów wystarczy). Nie twierdzę jednak, że nie da się elementarnie.

czy ten przykład tez tylko przez rozwinięcie?
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}n^{2}\left(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)}\)

Nie mówię, że tylko. Ja bym jednak tak zrobił

To 1. można tak:
\(\displaystyle{ ne-n(1+\frac{1}{n})^n=\frac{e-(1+\frac{1}{n})^n}{\frac{1}{n}}=\frac{e-\exp \left[ n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]}{\frac{1}{n}}=\\ \\\frac{e\left\{1-\exp\left[ n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right]\right\}}{1-n\ln (1+\frac{1}{n})} \cdot \frac{1-n\ln (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}}\)
Pierwszy ułamek to wiadomo, a w drugim podstawiamy \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n}=e^u,\ u\to 0}\) i mamy granicę
\(\displaystyle{ \lim_{u\to 0}\frac{1-\frac{u}{e^u-1}}{e^u-1}=\lim_{u\to 0} \frac{e^u-u-1}{(e^u-1)^2}}\)
a to to już można z rozwinięcia, hospitala czy czegoś innego.

2. też może się da w podobny sposób.