Matematyka.pl

Udowodnij, że ułamek, którego licznik jest iloczynem czterech kolejnych liczb naturalnych, a mianownik jest iloczynem kolejnych liczb parzystych, jest skracalny przez 24.

Ułamek ma postać
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{2c(2c+2)(2c+4)(2c+6)}\\
n\in N,\quad c\in C\setminus \left \{ 0 \right \}}\)
N - liczby naturalne, C - liczby całkowite

Wiem, że można zastąpić zbiór C, zbiorem N, ale musiałbym to uzasadnić i nie wiem jak.

Pozdrawiam.

Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych ma tę właściowość że wśród jego czynników znajdziesz liczby podzielne przez 2, 3 i 4 więc \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 4=24}\) cały iloczyn będzie podzielny przez 24.

Natomiast wśród iloczynu czterech kolejnych liczb parzystych znajdziemy czynniki podzielne przez 2, 4, 6, 8 a \(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8=384:24=16}\) więc i mianownik jest podzielny przez 24

W zadaniu jest błąd w określeniu \(\displaystyle{ c \in C \setminus \left\{ 0\right\}}\) powinno byc \(\displaystyle{ c \in C \setminus \left\{ -3,-2,-1,0\right\}}\)

\(\displaystyle{ 1}\)Zajmijmy się licznikiem. Mamy iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych. Wiemy że wśród tych liczb znajduje się liczba podzielna przez 2, podzielna przez 3 i podzielna przez 4. Z tego otrzymujemy że licznik na pewno dzieli się przez 24

\(\displaystyle{ 2}\) Mianownik. Iloczyn 4 kolejnych liczb parzystych. Wśród 4 kolejnych liczb parzystych znajdziemy zawsze liczbę podzielną przez 6 i przez 4 co oznacza że mianownik też jest podzielny przez 24.

Właśnie takie rozwiązanie zrobiłem, tylko myślałem, że należy to jeszcze jakoś udowadniać.