Witam. Oto definicja małego wymiaru indukcyjnego.
Niech X będzie przestrzenią normalną, a n liczbą całkowitą nieujemną.
Liczbe \(\displaystyle{ D_{top}(X)}\) nazywamy małym wymiarem indukcyjnym (wymiarem topologicznym) przestrzeni X i mamy:
(1) \(\displaystyle{ D_{top}(X)=-1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X= \emptyset.}\)
(2) \(\displaystyle{ D_{top}(X)\leqslant n}\), jeśli dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) i jego otoczenia \(\displaystyle{ V \subset X}\) istnieje taki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U \subset X}\), że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\) oraz \(\displaystyle{ D_{top}(\Fr X) \leqslant n-1.}\)
(3) \(\displaystyle{ D_{top}(X)=n}\), jeśli \(\displaystyle{ D_{top}(X) \leqslant n}\) oraz nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ D_{top}(X)\leqslant n-1.}\)
(4) \(\displaystyle{ D_{top}(X)=\infty}\), jeśli dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ D_{top}(X)\leqslant n.}\)
\(\displaystyle{ D_{top}(A)}\) - wymiar topologiczny zbioru A
Dlaczego wymiar prostej wynosi 1 a wymiar płaszczyzny 2. Jak to pokazać z definicji, że nie prawdą jest, że wymiar prostej wynosi 0, a wymiar płaszczyzny 1, względem punktu 3?
-- 25 lis 2010, o 15:42 --
Czy wystarczające będzie, że zrobie to tak:
Dla prostej \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}, n=1}\). Potraktujmy to jako założenie, że n=1. Zatem z punktu 3 definicji małego wymiaru indukcyjnego mamy, że:
\(\displaystyle{ D_{top} \leqslant n}\) oraz \(\displaystyle{ \sim D_{top} \leqslant n-1}\) czyli \(\displaystyle{ D_{top} > n-1.}\) Skoro zakładaliśmy, że n=1 mamy zatem \(\displaystyle{ D_{top} \leqslant 1}\) oraz \(\displaystyle{ D_{top} > 1-1=0}\). Zatem \(\displaystyle{ D_{top} =1.}\)
Dla \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}^2}\) mamy analogicznie.
Czy to wystarczy?