Matematyka.pl

Witam. Mam policzyć granice funkcji, wykorzystując przy tym nierówność:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^{x} = e}\)
Chciałabym się upewnić, czy to jest dobrze?:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left( 1+\tg x \right) ^{\ctg x}= \lim_{x \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{\cos x}{\sin x} } \right) ^{ \frac{\cos x}{\sin x} }= e}\)

Nie mam pomysłów na nastpęujące przykłady:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \cos x\right) ^{ \frac{1}{\sin ^{2}x } }}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty }\left( 3 ^{x}- 2 ^{x} \right) ^{ \frac{1}{x} }}\) Proszę o wskazówki

Tak starczy, ale oczywiście masz dobrze:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left( 1+\tg x \right) ^{\ctg x}= \lim_{x \to \infty } \left( 1+ \tg x \right) ^{ \frac{1}{\tan x}}= e}\)

b) \(\displaystyle{ (3 ^{x}- 2 ^{x}) ^{ \frac{1}{x} }=\left [3^x\left (1-\left (\frac{2}{3}\right )^x\right )\right ]^{ \frac{1}{x} }}\)

a) funkcja cos nie ma granicy w nieskończoności, na pewno dobrze przepisałaś ten przykład?

Dzięki za pomoc. Tam rzeczywiście się pomyliłam, miało być przy x dążącym do 0, ale już wpadłam na pomysł, jak to policzyć.