Matematyka.pl

Witajcie,
Potrzebuje pomocy z takim oto zadankiem. Trzeba określić zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(\sqrt[n]{n} - 1)}\)

Dosyć łatwe jest udowodnienie, że jest on zbieżny względnie. Nie umiem natomiast pokazać, że badanie bezwzględnej zbieżności pokazuje, że jest rozbieżny. Prosiłbym o jakąś pomoc.

Mamy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}-1=\exp(\frac{\ln n}{n})-1\approx \frac{ln n}{n}>\frac{1}{n}}\), przy czym pierwsza równosć wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}\to 0}\) (łatwo dowodzi się z de l'Hospital'a, albo Stolz'a), oraz faktu że \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1}\). Wówczas z rozbieżności szeregu harmonicznego i kryterium porównawczego wynika rozbieżność szeregu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{\ln}{n}}\), czyli na mocy kryterium asymptotycznego także badany szereg jest rozbieżny.

Można jeszcze wspomnieć, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}>1}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\) aby móc odpowiednio opuścić moduł.