Matematyka.pl

Jak rozwiązać taka kongruencję? Twierdzeniem chińskim o resztach wychodzą jakieś bzdury albo nie umiem go dla takich układów stosować
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^{2}+x\equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)

Na wstępie napiszę, że nigdy nie rozwiązywałem takich układów. Nie wiem więc czy to co napisze będzie poprawne. Potraktuj mój post jako luźną myśl która być może ci pomoże

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^{2}+x\equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(3x+1) \equiv0\ mod\ 5\\
2x+3\equiv 0\ mod\ 7\end{cases}}\)

Ponieważ 5 jest liczba pierwszą , z pierwszej kongruencji otrzymujemy, że musi być:
\(\displaystyle{ x \equiv0 (mod5) \vee 3x+1\equiv0 (mod5)}\)
Dostajemy dwa układy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv0 mod5 \\ 2x \equiv4 mod7 \end{cases}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+1\equiv0 mod5 \\ 2x \equiv4 mod7 \end{cases}}\)
inaczej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv0 mod5 \\ x \equiv2 mod7 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv3 mod5 \\ x \equiv2 mod7 \end{cases}}\)

Drugą kongruencję możemy podzielić przez 2 ponieważ \(\displaystyle{ NWD(2,7)=1}\)

Teraz już łatwo rozwiązać te dwa układy za pomoca twierdzenia chińskiego o resztach. Jeżeli gdzieś się nie pomyliłem to rozwiązania wychodzą:
\(\displaystyle{ x=35k+30 \vee 35k+23 , k \in N}\)

Pozdraiwam

\(\displaystyle{ 3x+1\equiv 0 mod5 \Rightarrow x\equiv 3mod5}\)?? Nie wiem skąd to przejście, i z tego co na koniec wychodzi Tobie, że \(\displaystyle{ x=35k+30 \vee x=35k+23}\) z tych samych równań ja mam inne wyniki, że \(\displaystyle{ x=35k+15 \vee x=35k+22}\)

Twoje wyniki są raczej zle bo już biorąc pierwszą mozliwośc i podstawiając k=1 dostajemy x=50, które nie spełnia drugiej kongruencji. Przejscie to wzięlo się stąd, że 3x musi dawac resztę 4 z dzielenia przez 5, w ten sposób sprawdzamy. Jeżeli x daje resztę 1 z dzielenia przez 5 to 3x daje reszte 3 - nie pasuje i tak dalej. Tym sposobem dochodzimy do tego, że x przystaje do 3 mod 5