Matematyka.pl

rozwiązać w liczbach naturalnych układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=y-1 \\y^2=z-1 \\z^2=x-1\end{cases}}\)

Sumując stronami dostajemy:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=x+y+z-3}\)
Jednak dla każdej liczby \(\displaystyle{ a \in N}\) zachodzi \(\displaystyle{ a^{2} \ge a}\) stąd nierówność:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge x+y+z}\) więc:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}>x+y+z-3}\)

Układ nie ma więc rozwiązań w liczbach naturalnych