Tak jak w temacie (proszę również o uzasadnienie):
\(\displaystyle{ \left\{ f \in C\left[ 0,1\right] : \bigwedge\limits_{ x\in \left[ 0,1\right]} f(x) > 0 \right\}}\) in \(\displaystyle{ C[0,1]}\)
Czy ten zbiór jest otwarty?
-
szw1710
Czy ten zbiór jest otwarty?
Oznaczmy ten zbiór przez A. Jest to zbiór otwarty. Żeby to pokazać, trzeba sprawdzić, że jeśli \(\displaystyle{ f_0\in A}\), to istnieje kula otwarta zawierająca \(\displaystyle{ f_0}\) i zawarta w A. Z twierdzenia Weierstrassa infimum funkcji ciągłej na zbiorze zwartym jest osiągane, więc mamy
\(\displaystyle{ \delta:=\inf\{f_0(x):x\in[-1,1]\}>0}\).
Można więc odpowiednio przesunąć \(\displaystyle{ f_0}\) w dół, żeby i tak wartości pozostały dodatnie (wystarczy o \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\delta}\)). Potem odpowiednio przesuwamy w górę i mamy poszukiwaną kulę o środku \(\displaystyle{ f_0}\) i odpowiednio dobranym promieniu zawartą w A.
\(\displaystyle{ \delta:=\inf\{f_0(x):x\in[-1,1]\}>0}\).
Można więc odpowiednio przesunąć \(\displaystyle{ f_0}\) w dół, żeby i tak wartości pozostały dodatnie (wystarczy o \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\delta}\)). Potem odpowiednio przesuwamy w górę i mamy poszukiwaną kulę o środku \(\displaystyle{ f_0}\) i odpowiednio dobranym promieniu zawartą w A.