Udowodnienie monotoniczności ciągu eulera
: 21 lis 2010, o 16:49
Widziałem kiedyś dowód na monotoniczność ciągu eulerowskiego, wykorzystujący nierówności między średnimi. Zna ktoś ten dowód?
Prosto z wikipedii:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{ \overbrace{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) + \left( 1+\frac{1}{n} \right) + \ldots + \left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n \ \text{razy}} +1}{n+1} \right)^{n+1} > \left( \sqrt[n+1]{ \underbrace{\left(1+\frac{1}{n} \right)\left(1+\frac{1}{n} \right) \ldots \left(1+\frac{1}{n} \right) }_{n \ \text{razy}} \cdot 1} \right)^{n+1} =\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n}\)