Matematyka.pl

Udowodnić za pomocą bijekcji

\(\displaystyle{ \left[0,1\right)}\) równoliczne z \(\displaystyle{ O \bigl( (0,0),1 \bigr)}\),

\(\displaystyle{ O \bigl((a,b),r \bigr)}\) oznacza zbior \(\displaystyle{ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | (x-a)^2+ (y-b)^2=r^2 \}}\)

No i wymyśliłem taką funkcję tylko nie wiem jak to poprawnie zapisać.

\(\displaystyle{ F(r)=<x,y> \quad \text{dla} \ \left( x^2+y^2=r^2 \wedge x\in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R} \right)}\)

Wiemy ze każdemu punktowi od \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\) odpowiada dokładnie jeden okrąg. Z drugiej strony każdemu okręgowi o promieniu \(\displaystyle{ r}\) odpowiada tylko jeden punkt z \(\displaystyle{ \left[0,1\right)}\).
Jeśli ktoś poda mi wskazówkę do poprawnego zapisu funkcji to z góry dziękuje.

waszak pisze:Udowodnić za pomocą bijekcji
[0,1) równoliczne z O((0,0),1)
(...)
Wiemy ze każdemu punktowi od [0,1) odpowiada dokładnie jeden okrąg. Z drugiej strony każdemu okręgowi o promieniu r odpowiada tylko jeden punkt z [0,1).

Masz pokazać równoliczność odcinka \(\displaystyle{ [0,1)}\) i okręgu o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), a nie odcinka i jakiejś rodziny okręgów.

JK

Dziękuje . Zauważyłem już błąd w moim rozumowaniu.
Czyli mam coś w tym stylu.
\(\displaystyle{ F(x)=<x,y>dla (1-x^2=y^2 \wedge y\in \mathfrak{R} )}\)

waszak pisze:Czyli mam coś w tym stylu.
\(\displaystyle{ F(x)=<x,y>dla (1-x^2=y^2 \wedge y\in \mathfrak{R} )}\)

Nie.

Masz zdefiniować funkcję pomiędzy tymi zbiorami. To, co napisałeś, nie jest definicją funkcji. Powinno być

\(\displaystyle{ F:[0,1) \rightarrow O((0,0),1)}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\langle\cos{2\pi x}, \sin{2\pi x}\rangle}\)

JK

Dziękuje muszę jeszcze trochę popracować nad zadaniami tego typu.

Witam, czy można to zadanie rozpatrzyć następująco: (oznaczenia \(\displaystyle{ [a,b) \sim [c,d]}\))
okrąg potraktować jako odcinek \(\displaystyle{ [-3,1]}\)(możemy zbudować dwa półokręgi \(\displaystyle{ [-1,1]}\) i \(\displaystyle{ [-3,-1]}\))
a odcinej \(\displaystyle{ [0,1)}\) zostawić takim jaki jest:)
następnie stworzyć wzór funkcji korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ f(x)= \frac{(d-c)x+bc-ad}{b-a}}\) co wyjdzie nam po przekształceniach \(\displaystyle{ f(x)=4x-3}\).
tak więc otrzymaliśmy wzór funkcji, a jeśli coś jest funkcją to jest bijekcją czyli jest "na" i "1-1".

Proszę o pomoc i ew. sprostowanie

PowerMan pisze:okrąg potraktować jako odcinek [-3,1](możemy zbudować dwa półokręgi [-1,1] i [-3,-1])

Nie rozumiem.

JK

Hm może odpowiem na to pytaniem, czy można potraktować okrąg o promieniu 1 i srodku 0.0 jako \(\displaystyle{ \left[-1;1 \right]}\) (jak go narysujemy to przecina os OX w miejscach -1 i 1, wiec jest to odcinek [-1]. Czy w ogóle można okrąg w tym przypadku potraktować jako odcinek..


//przepraszam za nieprecyzyjność//

Nie, nie można. Okrąg to okrąg, a odcinek to odcinek. Można robić oczywiście różne utożsamienia, ale to wymaga za każdym razem napisania funkcji.

JK

Jan Kraszewski pisze:

waszak pisze:Czyli mam coś w tym stylu.
\(\displaystyle{ F(x)=<x,y>dla (1-x^2=y^2 \wedge y\in \mathfrak{R} )}\)

Nie.

Masz zdefiniować funkcję pomiędzy tymi zbiorami. To, co napisałeś, nie jest definicją funkcji. Powinno być

\(\displaystyle{ F:[0,1) \rightarrow O((0,0),1)}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\langle\cos{2\pi x}, \sin{2\pi x}\rangle}\)

JK

Skąd taki pomysł? Te rozwiązanie na pewno jest dobrze? Jeżeli tak to proszę o wyjaśnienie.

Edit:: Poczytałem o okręgu jednostkowym i prawie wszystko rozumiem. Rozwiązanie oczywiście jest dobre.

Pozdrawiam,
wll