Strona 1 z 1
Dwumian Newtona zadanko
: 20 lis 2006, o 22:52
autor: r2b
Mam problem z zadankiem o nastepujacej tresci (nie wiem jak obliczyc rownanie i czy jest poprawne):
Wiadomo, że suma wspolczynnikow drugiego i trzeciego wyrazu rozwiniecia dwumianu \(\displaystyle{ (x^{2}+\frac{1}{x})^{n}}\) wynosi 325. Wyznacz siedemnasty wyraz tego rozwiniecia.
Nieregulaminowy zapis. Poprawiam. Calasilyar
Dwumian Newtona zadanko
: 9 sty 2007, o 21:40
autor: zi0m_papirus
Jako ze przed x wystepuje czynnik 1 nie am to znaczenia dla wielksoci wspolczynnika a wiec 2 wyraz jest postaci \(\displaystyle{ {n\choose 1}}\) a 3 wyraz \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\)
Suma tych dwoch czynnikow ze znanego tweirdzenia -
\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}}\)
a wiec
\(\displaystyle{ {n\choose 1}+{n\choose 2}={n+1\choose 2}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ {n+1\choose 2}=325}\) teraz zaminiamy dwumian newtona na prosta postac
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}}\)
co jest rowne
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)*n*(n+1)}{2(n-1)!}}\)
co jest ostatecznie rowne
\(\displaystyle{ {n(n+1)=650}}\)
nei chce mis ei jzu delty obliczac ale - \(\displaystyle{ {n=25}}\)
a wiec 17 wyraz to
\(\displaystyle{ {(-1)^{16}*{25\choose 16}*(x^{2})^{n-k}*(\frac{1}{x})^{k}}\)
zatem
\(\displaystyle{ {(-1)^{16}*{25\choose 16}*(x^{2})^{9}*(\frac{1}{x})^{16}}\)
co rowna sie
\(\displaystyle{ {(-1)^{16}*{25\choose 16}*x^{18}*x^{-16}}\)
ostaecznie \(\displaystyle{ {{25\choose 16}*x^{2}}\)