Matematyka.pl

Witam, mam zadanie:

Dane jest przestrzeń wektorowa \(\displaystyle{ R_{+}, R, \oplus, \ast}\), gdzie
\(\displaystyle{ x \oplus y=xy}\)

\(\displaystyle{ a\ast x= x^{a}}\)

Czy wektory x=2 , y=8 tworzą bazę tej przestrzeni.

Bardzo mi zależy na poprawnym rozwiazaniu tego zadania i szybkiej odpowiedzi, gdyż długo się z tym męczę.

Odpowiedź: Są.
Napisać rozwiązanie?

Tak byłbym bardzo wdzięczny

\(\displaystyle{ x,y\in R_+}\) czy są liniowo niezależne? Tzn czy istnieją \(\displaystyle{ a,b\in R}\) takie, że zachodzi:
\(\displaystyle{ a\ast x \oplus b \ast y=0}\), czyli zgodnie z definicją działań
\(\displaystyle{ (x^a)\oplus (y^b)=0}\) i dalej
\(\displaystyle{ (x^a)(y^b)=0}\) podstawiając nasze wektory dostajemy:
\(\displaystyle{ (2^a)(8^b)=0}\) i stąd już widać, że nie znajdziemy takich \(\displaystyle{ a,b}\), aby równość zachodziła. Nawet \(\displaystyle{ a=b=0}\) nie działa => nie są liniowo niezależne

Sorki za wprowadzenie w błąd ;/