Matematyka.pl

Witam. Mam kilka zadań i odnośnie nich pytań

1.Znajdź wszystkie liczby naturalne n dla których liczba \(\displaystyle{ 27 n^{3} - 8}\) jest pierwsza?

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia dostałem

\(\displaystyle{ (3n-2)(9n ^{2}+6n+4 )}\)

\(\displaystyle{ 3n-2=1 \Rightarrow n=1}\)

Drugi nawias wynosi więc 19 (czyli jest to liczba pierwsza). Czy to jest wystarczający dowód do tego że to jest jedyne rozwiązanie? Z tego co widać n musi być liczba nieparzystą - sprawdzałem dla 3,5,7 i nie wychodzi liczba pierwsza.

2. Dla jakich liczb naturalnych n liczba \(\displaystyle{ n ^{4} +4}\) jest liczbą pierwszą?

wychodzi mi n=1, dla n parzystych nie otrzymamy liczby pierwszej, czy wystarczy napisanie ze dla wszystkich innych liczb nieparzystych nie otrzymamy liczby pierwszej (zawsze bedzie to liczba podzielna przez 5)?

3.Wykaż, że nie istnieją liczby całkowite a,b dla których liczba \(\displaystyle{ a ^{4} -b ^{4}}\) jest pierwsza.

Jak to ruszyć? Podstawianie jakiegoś parametru np \(\displaystyle{ t=a ^{2}}\)?

Za wskazówki dziękuje

1. Dla \(\displaystyle{ n>1}\) pierwszy nawias i drugi nawias będą liczbami większymi od 1, czyli w efekcie dadzą liczbę złożoną - koniec zadania.
2. Dla parzystych nie wyjdzie, bo suma liczb parzystych jest parzysta, a liczba parzysta, niebędąca dwójką, jest liczbą złożoną. Jeśli znasz kongruencje, to możesz zbadać przystawanie tej liczby modulo 5.
3. \(\displaystyle{ a^{4} - b ^{4} = \left(a-b \right) \left( a+b\right) \left(a^{2}+b^{2} \right)}\) ...

Mam pytanie odnośnie jeszcze 2 zadań.

1. Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ 17|2x+3y}\) to \(\displaystyle{ 17|9x+5y}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in Z}\)

\(\displaystyle{ 17|17x+17y}\) - to na pewno jest liczba podzielna przez 17
\(\displaystyle{ 17|9x+5y +4 \cdot (2x+3y)}\) - rozpisałem to do takiej postaci

Jeśli \(\displaystyle{ a|b+c \wedge a|b \Rightarrow a|c}\)

Więc \(\displaystyle{ 17|17x+17y \wedge 17|4 \cdot (2x+3y) \Rightarrow 17|9x+5y}\)

2. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p,q takie, że:
\(\displaystyle{ 6p-22q=12}\)
\(\displaystyle{ 3p-6=11q}\)
\(\displaystyle{ 3(p-2)=11q}\)
\(\displaystyle{ q=3 \wedge p=13}\)

Czy to jest wystarczający dowód?

2 jest ok.

1 też w porządku.