Matematyka.pl

Znaleźć miejsce geometryczne środków cięciw elipsy \(\displaystyle{ x ^{2} + 4y ^{2}=4}\) prostopadłych do prostej l: x-2y-2=0

Robiłem to wyznaczając wzór prostych prostpadłych do tej danej prostej i podstawiając to pod wzór elipsy i próbowałem z wzorów Vieta potem, ale nie wiem jak to skończyć.

Powinno być dobrze. Napisz swoje rozumowanie i gdzie się urywa...

proste prostopadłe będą mieć wzór: \(\displaystyle{ y=-2x+d}\)
podstawiając to do równania elipsy, z wzoru Viete'a \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) mam \(\displaystyle{ \frac{16}{17} \cdot d}\). Dziele to na 2 i to chyba jest właśnie tak jakby X środka tej cięciwy. No i zrobiłem, że z tego wyliczam d i podstawiam do równania prostych prostopadłych i wychodzi \(\displaystyle{ y=\frac{1}{8} \cdot x}\)
ale nie wiem czy to tak sobie można podstawić ?

Nie,bo d jest niezależne od x i y.
Jak już masz współrzędną x-środka elipsy,to wyliczasz y,bo wiesz,że nasze proste to zbiór punktów postaci (x,-2x+d),czyli wstawiając środek masz (\(\displaystyle{ \frac{16}{17}d, -\frac{15}{17}d)}\)
Zauważ,że\(\displaystyle{ -\frac{15}{17}=- \frac{16}{17}+ \frac{1}{17}}\)Jaki z ztego masz wniosek?
d jest takie jakie chcesz...