Matematyka.pl

Na okręgu znajduje się n równomiernie rozłożonych punktów. Każde trzy spośród nich generują (wyznaczają ) trójkąt. Ile jest wszystkich takich trójek u, v, w, które wygenerują trójkąt prostokątny.....? A ile jest takich , które wygenerują trójkąt rozwartokątny....?

Niech te punkty tworza zbior \(\displaystyle{ P}\), zas okrag \(\displaystyle{ S}\) niech bedzie jednostkowy o srodku w \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{C}}\).

Jesli \(\displaystyle{ n = 2m}\) (parzyste) to dla kazdego \(\displaystyle{ p\in P}\) istnieje \(\displaystyle{ p'\in P}\) taki, ze \(\displaystyle{ p=-p'}\). Czyli odcinek \(\displaystyle{ pp'}\) jest srednica okregu \(\displaystyle{ S}\). Takich srednic jest \(\displaystyle{ m}\) i kazdej z nich odpowiada \(\displaystyle{ 2m-2}\) trojkatow prostokatnych o wierzcholkach w zbiorze \(\displaystyle{ P}\). Stad liczba trojkatow prostokatnych wynosi \(\displaystyle{ m(2m-2)}\).

Jesli \(\displaystyle{ n=2m+1}\), nieparzyste, to zadne dwa punkty nie leza na srednicy \(\displaystyle{ S}\), wobez tego nie istnieja trojkaty prostokatne.

Teraz trojkaty rozwartokatne.

W przypadku parzystym n = 2m:

Policzymy prawdopodobienstwo, ze wybrane losowo trzy punkty ze zbioru P, nie tworzace trojkata prostokatnego, tworza trojkat rozwartokatny .

Trzy punkty tworza trojkat rozwartokatny wiwgdy trzy polokregi o srodkach w tych punktach maja niepuste przeciecie. Kazdemu losowaniu trojki punktow odpowiada wylosowanie trzech polokregow. To mozna z kolei zastapic losowaniem trzech roznych srednic, nastepnie wylosowaniem jednego z dwoch polokregow dla kazdej srednicy (dla n=2m srodkiem obu polokregow jest pewien punkt z P). Po ustaleniu trzech srednic mamy 8 mozliwosci na wybor polokregow. Konce tych srednic dziela okrag na 6 czesci. Te pokregi beda mialy niepuste przeciecie wtedy i tylko wtedy, gdy tym przecieciem bedzie jedna z tych 6 czesci, co zachodzi z prawdopodobienstwem 6/8=3/4.

Stad odpowiedz = 3/4*(liczba wszystkich trojkatow - liczba trojkatow prostokatnych)=\(\displaystyle{ \frac{3}{4}\left( {n \choose 3} - \frac{n(n-2)}{2}\right)}\)

Dla n=2m+1, nieparzystego postepujemy podobnie.

Najpierw wybieramy punkt, ktory bedzie wierzcholkiem kara rozwartego, a co za tym idzie odpowiadajacy mu polokrag. Nastepnie liczymy prawdopodobienstwo, ze dwa inne losowo wybrane punkty dadza takie polokregi, ze te 3 polokregi maja niepuste przeciecie. Znowu wybieramy srednice, tym razem dwie, nastepnie losujemy polokregi - 4 mozliwosci. Dwie sposrod tych czterch mozliwosci sa OK. Podsumowujemy to we wzorze:

1/2*(liczba wszystkich trojkatow)=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} {n \choose 3}}\)

Mam nadzieje, ze nie ma nienaprawialnych bledow - nie mam chwilowo czasu tego gruntowniej przemyslec, a jutro zapomne pewnie o zadaniu.