Matematyka.pl

Witam,
Zastanawiam się skąd wzięły się wartości funkcji trygonometryczne? Jak można wyliczyć te wartości, które są w tablicy trygonometrycznej, albo np. wartość funkcji trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}}\)? dlaczego jest to równe \(\displaystyle{ \frac12}\)?

chocby definicja za pomoca trojkata prostokatnego - narysuj sobie polowke trojkata rownobocznego

Najpierw określa się funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i tak robili starożytni Grecy. Więc okazuje się, że jeśli zbudujesz trójkąt prostokątny o równych przyprostokątnych, to oczywiście otrzymasz kąt ostry 45 stopni, którego wartości funkcji trygonometrycznych są takie, jakie są i wyznaczamy je z trójkąta. Jeśli zbudujesz inny trójkąt prostokątny taki, że krótsza przyprostokątna jest swa razy krótsza od przeciwprostokątnej, to okaże się, że przeciwległy jej kąt ostry ma 30 stopni (dokładnie stanowi trzecią część kąta prostego), a jego sinus to właśnie 1/2. Taki trójkąt łatwo skonstruować: jest "połową" trójkąta równobocznego.

Więc motywację do takich a nie innych wartości widzę właśnie w trójkątach prostokątnych.

Dziękuję za odpowiedź, jednak narodziło się kolejne pytanie jak obliczono że przekątna kwadrata to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) a wysokość trójkąta równobocznego to \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

Wprost z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ d^2=a^2+a^2=2a^2 \\
d=\sqrt{d^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \\ \\ \\
h^2+\left( \frac{1}{2}a \right)^2=a^2 \\ \\
h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{4}a^2 \\ \\
h=\sqrt{a^2}=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}=a\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

To, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, wykazali Pitagorejczycy. Wcześniej wierzyli oni, że wszystkie wielkości są współmierne (co - na jedno wychodzi - że wszystkie liczby są wymierne). Załamało to ich szkołę.