[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[Vax]

Dobrze by było, jakby ktoś sprawdził, bo jednej rzeczy nie jestem pewien

rozwiązanie:    

Założenie: \(\displaystyle{ 24|mn+1}\)

Teza: \(\displaystyle{ 24|m+n}\)

Z założenia otrzymujemy (raz mnożąc przez m a raz przez n):

\(\displaystyle{ 24| m^2n+m}\)

\(\displaystyle{ 24| mn^2+n}\)

Dodając, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 24| m^2n+m+mn^2+n = mn(m+n)+m+n = (m+n)(mn+1)}\)

Skoro: \(\displaystyle{ (m+n)(mn+1) = 24k}\)

oraz z założenia: \(\displaystyle{ mn+1=24b}\)

To: \(\displaystyle{ m+n = 24c}\)

cnd.

Kolejne:

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}}}}=x}\)

[jerzozwierz]

Jest źle. Z tego, że \(\displaystyle{ 24 | xy}\) i \(\displaystyle{ 24 | x}\) nie wynika w żaden sposób, że \(\displaystyle{ 24 | y}\).

[ares41]

Weźmy np.
\(\displaystyle{ x=24 \wedge xy=48 \Rightarrow y=2\\ 24|x \wedge 24 |xy}\),
ale \(\displaystyle{ 2}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 24}\)

[Vax]

Tego właśnie nie byłem pewien W takim razie zadanie Mariolawiki1 wciąż aktualne.

Pozdrawiam.

[cyberciq]

To może ja pokaże moje częsciowe rozwiązanie bo nie mam pomyślu jak pokazać końcówkę,:

Ukryta treść:    

Liczby m i n są na pewno nieparzyste, a więc są postaci \(\displaystyle{ m=2k+1}\) i \(\displaystyle{ n=2l+1}\)W takim razie \(\displaystyle{ mn+1=(2k+1)(2l+1)=24p}\), po wymnożeniu mamy
\(\displaystyle{ 4kl+2k+2l+2=24p}\) czyli
\(\displaystyle{ 2(k+l+1)+4kl=24p\\2(k+l+1+2kl)=24p\\k+l+1+2kl=12p}\) z czego widać, że jedna z liczb k,l jest parzysta.Wówczas
\(\displaystyle{ 2(k+l+1)+4kl=24p\\2(k+l+1)=24p-4kl}\) i \(\displaystyle{ m+n=2(k+l+1).}\) 4kl jest na pewno podzielne przez 8, ale zastanawiam się jeszcze nad podzielnością przez 3, bo wówczas iloczyn jest podzielny przez 24 i już.

Jak ktoś ma jakieś zastrzeżenia czy coś to pisać bo mogłem coś przeoczyć

[Vax]

Dobra, chyba mam

rozwiązanie cz.2:    

Korzystając z tego, co napisał @Cyberciq, zostaje nam do udowodnienia, że \(\displaystyle{ 3|l}\). Sprawdźmy, co się dzieje jak \(\displaystyle{ l=3x+1 \vee l=3x+2}\)

\(\displaystyle{ 1) l=3x+1}\)

\(\displaystyle{ n=2l+1}\)

\(\displaystyle{ n=6x+3}\)

Z założenia mamy: \(\displaystyle{ 24|mn+1}\)

\(\displaystyle{ 24|(2a+1)(6x+3)}\)

\(\displaystyle{ 24|12ax+6a+6x+3 = 2(6ax+3a+3x+1)+1}\)

Ta podzielność nigdy nie zajdzie, ponieważ zawsze będzie to liczba nieparzysta.

Przeanalizujmy 2 przypadek:

\(\displaystyle{ l = 3x+2}\)

\(\displaystyle{ n=2l+1}\)

\(\displaystyle{ n=6x+5}\)

\(\displaystyle{ 24|(2a+1)(6x+5) = 12ax+10a+6x+5=2(6ax+5a+3x+2)+1}\)

Tutaj również podzielność nigdy nie zajdzie, ponieważ znowu otrzymaliśmy liczbę nieparzystą. Wobec tego, założenie spełnia tylko l podzielne przez 3, co w połączeniu z tym, co napisał @Cyberciq kończy dowód.

Pozdrawiam.

[cyberciq]

Dla przypomnienia zadanie, które obowiązuje to:

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}}}}=x}\)

pozdrawiam

[mariolawiki1]

Zadanie, które wrzuciłam można rozwiązać również za pomocą kongruencji.

Rozwiązanie zadania Vaxa:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}}}}=x \Rightarrow
x=\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}}}}}\)
I to jest rozwiązanie tzn. \(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}}}}}\)

Na razie nie będę wrzucać nowego zadania, bo nie jestem pewna rozwiązania.
Pozdrawiam

[abc666]

mariolawiki1, można podać to rozwiązanie bardziej jawnie.

[Vax]

Dokładnie, to niby jest poprawnie, jednak można podać w o wiele przyjaźniejszej formie

Pozdrawiam.

[jerzozwierz]

Można, a ponadto za słabo to opisałaś. Przydałby się dowód unikatowości tego rozwiązania.

<bzdury>

tak czy tak rozwiązanie nie jest ścisłe, 6 pkt bym za to nie dał.

[mariolawiki1]

Czyli jest zrobione, czy nie jest, oto jest pytanie!

Ja po prostu cały czas wstawiam dane w zadaniu x pod pierwiastek i stąd moja odpowiedź, więc nie rozumiem, jaki dowód miałabym przeprowadzić.
Pozdrawiam

[Vax]

Chodzi o to, że jest jedno rozwiązanie, ale bardziej ,,ścisłe", niż te, które podałaś

Pozdrawiam.

[jerzozwierz]

Już mniejsza o zapis wyniku, chodzi mi o to, że napisanie założenie \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) teza (a to jest dokładnie to, co zrobiła mariolawiki1), nie jest zbyt wiele warte.

[Vax]

Widzę, że zadanie trochę zatrzymało temat, więc jak ktoś ze ,,starszych" chce, może je rozwiązać

Pozdrawiam.