Matematyka.pl

Witam

Jak liczyć wirowosc pola?

\(\displaystyle{ rot(rot F)=grad(div F)-\Delta^2 F}\)

\(\displaystyle{ rot(F)}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} i&j&k\\ \frac{\varrho }{dx}&\frac{\varrho }{dy}&\frac{\varrho }{dz}\\P&Q&R\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ =i(Ry-Qz)-j(Rx-Pz)+k(Qx_Py)=
(Ry-Qz),(Rx-Pz),(Qx-Py)}\)

Skad sie to wzieło. Jak sie liczy taka macierz.
Moze ktos mi wytłumaczyc?

Źle napisane jest. Po pierwsze nie macierz tylko wyznacznik. Po drugie drugi wiersz jest źle napisany. Po trzecie laplacjan to taki trójkącik jak jest, ale bez kwadratu albo odwrócony z kwadratem. To może napiszę coś:
\(\displaystyle{ rot(F)=\nabla \times F}\). Policzę j-tą składową:
\(\displaystyle{ (\nabla\times F)_j=\varepsilon_{jkl}\partial_k F_l}\) (sumowanie po powtarzających się indeksach). Dla \(\displaystyle{ j=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (\nabla\times F)_1=\varepsilon_{1kl}\partial_k F_l=\varepsilon_{123}\partial_2 F_3+\varepsilon_{132}\partial_3 F_2=\partial_2F_3-\partial_3F_2}\)
pozostałe składowe analogicznie