Matematyka.pl

Mamy 10 par butów. Na ile sposobów możemy wybrać 4 buty, tak aby była co najmniej jedna para.

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ {20 \choose 1}{18 \choose 1}{17 \choose 1} + {20 \choose 1}{18 \choose 1}}\)

Czy jest poprawne?

Nie wiem jaki był Twój sposób rozumowania ale nie jest to poprawne rozwiązanie. Zauważ, że wyliczona wg Twojego sposobu ilość możliwości jest większa niż ilość wszystkich możliwych zbiorów 4 -elementowych utworzonych ze zbioru 20-elementowego czyli \(\displaystyle{ {20 \choose 4}}\)

Możesz albo obliczyć ilość możliwości zdarzenia przeciwnego: wśród wybranych butów nie będzie żadnej pary, albo wprost jako sumę zdarzeń (wśród wybranych butów będzie jedna para + wśród wybranych butów będą dwie pary).

Korzystając ze zdarzenia przeciwnego daje to nam
\(\displaystyle{ {20 \choose 4} - {10 \choose 2}{8 \choose 2}}\)

a z sumy zdarzeń zrobiłbym
\(\displaystyle{ {20 \choose 3} + {20 \choose 2}}\)

ale wyniki są różne :]

A mógłbyś opisać skąd masz ten drugi składnik przy pierwszym sposobie liczenia? Czym jest np. wybór, który liczysz jako \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) ?

Biorę 2 buty ze wszystkich lewych ?

Oczywiście jak wybierzesz 2 buty ze wszystkich lewych to na pewno nie będzie pary. Ale z tego nic nie wynika. Mogę się domyślać, że \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\) to wybór dwóch prawych butów z ośmiu które nie są parą do dwóch wylosowanych wcześniej. Zauważ jednak, że jeżeli nie ma być pary, to mogą być 3 lewe i 1 prawy (oczywiście nie do pary), 4 prawe itd.

Natomiast z sumy zdarzeń poprawny jest tylko drugi składnik tzn. wybór dwóch par z 10. Natomiast wybór dokładnie jednej pary już nie.

Hmmm... sumą zdarzeń:
\(\displaystyle{ {20 \choose 3} \cdot 3 + {20 \choose 2}}\)

jak to zrobić zdarzeniem przeciwnym to na razie nie wiem. Pomysł jest taki:
1) Biorę jeden dowolny but
2) Biorę jeden but, tak aby nie był do pary z wcześniejszym
3) Biorę jeden but, tak aby nie był do pary z wcześniejszymi 2-ma
4) Biorę but tak, aby nie był do pary z żadnym z wcześniejszych

daje to
\(\displaystyle{ {20 \choose 4} - 20\cdot18\cdot16\cdot14 < 0}\)

Suma zdarzeń - pierwszy składnik nie za bardzo. Zauważ, że ma być tylko jedna para, czyli masz 10 możliwości wyboru. Trzeci but dowolny z pozostałych (czyli z 18), a czwarty but dowolny z wyjątkiem tego do pary wylosowanego jako trzeci (czyli z 16). Oczywiście wybór np. w trzecim kroku buta nr 12 a w czwartym buta nr 17, to taki sam wybór jak wybranie w trzecim kroku buta nr 17 a w czwartym buta nr 12. Musisz więc podzielić tą ilość przez 2! (czyli ilość permutacji dwóch elementów). Będzie więc:

\(\displaystyle{ 10 \cdot \frac{18 \cdot 16}{2!}}\)

Drugi składnik, to ma być wybór 2 par z 10 a nie z 20.

Pomysł na wariant ze zdarzeniem przeciwnym jak najbardziej dobry. Zapomniałeś tylko uwzględnić to (tak jak w przykładzie powyżej), że nie jest istotna kolejność losowanych elementów.

Teraz jest OK.
Oczywiście identyczny wynik otrzymasz robiąc obliczenia drugim sposobem.

A jeżeli kolejność elementów miałaby znaczenie to jak wyglądałoby to sumą zdarzeń?

Jeżeli nie ma znaczenia kolejność elementów i mamy obliczoną ilość zdarzeń, to teraz chcąc uwzględnić kolejność wystarczy tą ilość pomnożyć przez permutację tych elementów.
Skoro tutaj mamy 1485 różnych 4-elementowych zbiorów to z każdego z tych zbiorów możemy utworzyć 4! ciągów.

Oczywiście jeżeli w zadaniu byłby tylko wariant gdzie ważna byłaby kolejność elementów, to wówczas sposób zrobienia mógłby być inny. Np. Zamiast kombinacji byłyby wariacje bez powtórzeń (bo kombinacja \(\displaystyle{ C^{k}_{n}}\) pomnożona przez permutację \(\displaystyle{ P_{k}}\) daje wariację bez powtórzeń \(\displaystyle{ V^{k}_{n}}\))