Matematyka.pl

Hej, mam tu trzy ciekawe zadania na temat wielomianów - powodzenia!


Zadanie 1
Wielomian W ma współczynniki całkowite. Uzasadnij, że jeżeli W(5) dzieli się przez 2 i W(2) dzieli się na 5, to liczba W(7) dzieli się przez 10.

Zadanie 2
Czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych taki, że W(0)=19, W(1)=97 i W(2)=1997 ?

Zadanie 3
Udowodnij, że jeżeli W jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i |W(3)|=|W(7)|=1, to wielomian W nie ma pierwiastków całkowitych.

1. Mamy:
\(\displaystyle{ (7-2)|\left(W(7)-W(2)\right) \\ (7-5)|\left((W(7)-W(5)\right)}\)
Toteż: \(\displaystyle{ (2 \cdot 5)|W(7)}\), co należało dowieść.

2. Tak oO: \(\displaystyle{ W(x)=911x^2-833x+19}\)

3. Wówczas mielibyśmy:
\(\displaystyle{ Q(x)=((W(x))^2-1=(x-3)(x-7)P(x)}\), gdzie P,Q to wielomiany o współczynnikach całkowitych. Więc istnieje takie k całkowite, że: \(\displaystyle{ W(k)=0}\), czyli \(\displaystyle{ -1=Q(k)=(k-3)(k-7)P(k)}\). Nie może być \(\displaystyle{ P(k)=0}\), zatem: \(\displaystyle{ |P(k)| \geqslant 1}\), a drugiej strony nie może być k=3 lub k=7, zatem: \(\displaystyle{ |(k-3)(k-7)| \geqslant 3}\) (wystarczy sprawdzić dla k=4,5,6, dla innych to oczywiste), toteż: \(\displaystyle{ 1=|-1|=|P(k)(k-3)(k-7)| \geqslant 3 \cdot 1 = 3}\) - sprzeczność. Zatem taki wielomian nie istnieje.