Matematyka.pl

Udowodnić lub podać kontrprzykład:
\(\displaystyle{ \bigcap _{t \in T} I_t}\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \bigcup _{t \in T} I_t}\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\)
gdzie dla każdego \(\displaystyle{ t \in T, I_t}\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\)

Przecięcie ideałów zawsze jest ideałem - łatwo to wykazać z definicji ideału.

Natomiast suma ideałów ideałem zazwyczaj nie jest - prosty kontrprzykład to suma ideałów \(\displaystyle{ 2\mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ 3\mathbb{Z}}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\). Do \(\displaystyle{ 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}}\) należą dwójka i trójka, ale piątka nie, więc ten zbiór nie jest zamknięty ze względu na dodawanie. Nie jest więc w szczególności ideałem.

Q.